Реферат: Додавання гармонічних коливань

Результуючий рух – це гармонічне коливання вздовж прямої (рис.6).

3. Нехай де В результаті одержуємо рівняння

(27)

Це рівняння еліпса, осі якого збігаються з осями координат, а його півосі дорівнюють відповідним амплітудам (рис. 7). Якщо , то еліпс перетворюється в коло.

Рис.6

Рис.7

Два окремі випадки і відрізняються напрямком коливання по еліпсу або по колу.

У випадку, коли циклічні частоти взаємно перпендикулярних коливань, що додаються, різні, то замкнута траєкторія результуючого коливання досить складна.

Замкнуті траєкторії, які рисуються одночасно коливальною точкою у взаємно перпендикулярних напрямках, називаються фігурами Ліссажу. Форма цих кривих залежить від співвідношення амплітуд, частот і різниці фаз коливань, які додаються.

На рис. 8 показана одна із найпростіших траєкторій, одержаних при додаванні взаємно перпендикулярних коливань з відношенням циклічних частот 1:2 і різниці фаз . Рівняння коливань мають вигляд:

,

. (28)

Рис. 8

Якщо відношення частот дорівнює 1:2, а різниця фаз то траєкторія коливань точки вироджується в незамкнуту криву (рис. 9), вздовж якої рухається точка то в одну до в протилежну сторони.

Рис. 9

Чим ближче до одиниці буде відношення частот , тим складнішою буде фігура Ліссажу. Для прикладу на рис. 10, наведена крива фігури Ліссажу з відношенням частот 3:4 і різниці фаз .

Рис. 10

3. Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань і його розв’язування

Розглянемо вільні затухаючі коливання, амплітуда яких внаслідок втрат енергії реальною коливальною системою зменшується з часом. Найпростішим механізмом зменшення енергії коливань є її перетворення в теплоту внаслідок тертя в механічних коливальних системах, а також омічних втрат і випромінювання електромагнітної енергії в електричних коливальних системах.

Закон затухання коливань визначається властивостями коливальних систем. Як правило розглядають лінійні системи – ідеалізовані реальні системи, у яких параметри, які визначають фізичні властивості системи, у ході процесу не змінюються. Лінійними системами є, наприклад, пружинний маятник при малих деформаціях пружини (в межах дії закону Гука), коливальний контур, індуктивність, ємність і опір якого не залежать ні від струму в контурі, ні від напруги. Різні за своєю природою лінійні системи описуються ідентичними лінійними диференціальними рівняннями, які дозволяє підходити до вивчення коливань різної фізичної природи з єдиної точки зору.

Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань лінійної системи задається у вигляді

(29)

де x – коливна величина, яка описує той або інший фізичний процес, – коефіцієнт затухання, ω₀ – циклічна частота вільних незатухаючих коливань тієї ж коливальної системи, тобто при (при відсутності втрат енергії).

Щоб знайти розв’язок рівняння (29), слід фізичну величину х виразити через нову змінну z відповідно до рівняння

(30)