Реферат: Эффективность работы военно-медицинского учреждения

2.2.5 Проблема собственных чисел и собственных значений

При решении задачи методом главных компонент возникает проблема вычисления собственных чисел и собственных векторов. В соответствующей литературе, посвященной методу главных компонент [4], для решения этой проблемы рекомендуется воспользоваться стандартными подпрограммами и библиотеками, входящими в поставку программного обеспечения ЭВМ. Однако, в связи с грандиозным прогрессом в области вычислительной техники, развитием персональных ЭВМ, и переориентацией рынка программных средств, данные рекомендации теряют актуальность. Очевидно так же, что и при написании этой методической литературы, данные рекомендации не являлись идеальными, так как при использовании стандартных подпрограмм никак не используются свойства матриц, получающихся при расчетах методом главных компонент.

2.2.6 Методы нахождения собственных чисел и собственных векторов

2.2.6.1 Постановка задачи

Собственным значением квадратной матрицы А называется такое число l, что для некоторого ненулевого вектора х имеет место равенство Ах=lх. Любой ненулевой вектор х, удовлетворяющий этому равенству, называется собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению l. Все собственные векторы матрицы определены с точностью до числового множителя. Множество всех собственных значений матрицы А называется спектром матрицы А.

Собственные значения l матрицы А являются корнями алгебраического уравнения:

(2.16)

которое называется характеристическим уравнением матрицы А.

Известно, что характеристическое уравнение имеет в области комплексных чисел ровно m корней l₁ , l₂ , ..., l_m (с учетом их кратности). Таким образом каждая квадратная матрица А порядка m обладает набором из m собственных значений l₁ , l₂ , ..., l_m .

Если матрица А симметричная, то все её собственные значения являются вещественными числами. В противном случае, для несимметричных матриц возможно наличие комплексных собственных значений вида l=a+ib с ненулевой мнимой частью. В этом случае собственным значением матрицы будет и комплексно-сопряженное число.

Численные методы решения проблемы собственных значений до конца 40-х годов, сводились, в основном, к решению характеристического уравнения. При реализации такого подхода, основные усилия были направлены на разработку эффективных методов быстрого вычисления коэффициентов характеристического уравнения. Такие методы имеют названия прямых. Популярным методом этого типа является метод Данилевского [10].

Указанный подход становится неудовлетворительным при вычислении собственных значений матриц, имеющих порядок m в несколько десятков (и тем более сотен). В частности, одним из недостатков является так же то, что точность вычисления корней многочлена высокой степени данным методом чрезвычайно чувствительна к погрешности в ?