Реферат: Электростатическое взаимодействие точечных зарядов

∫_V (ε₀ /2)E² dV = ∫_V (1/2)φρdV. (6)

Слева имеем объёмный интеграл от выражения (3), а справа – полную энергию электростатического поля системы зарядов. Поэтому интеграл в левой части (6) можно также рассматривать, как полную энергию системы. Каждое из подынтегральных выражений (6) представляет собой объёмную плотность энергии поля, что и доказывает справедливость формулы (3). Так как названные плотности выражают одно и то же, то, в принципе, они должны быть одинаковы. Однако, из-за разделения понятий «заряд» и «поле» этого не происходит. Выбирая левую часть, мы подсчитываем энергию, распределённую в электростатическом поле, пользуясь понятием напряжённости поля, выбирая правую часть, – определяем работу, необходимую для воссоздания тех же полей вокруг зарядов. В том и другом случае речь идёт об энергии поля, и о размещении этой энергии именно в самом поле.

При использовании в равенстве (4) вместо векторного поля φ∙gradφ, поле E = –gradφ, взаимодействие зарядов выпадает из рассмотрения,

∫_S gradφ∙dS = ∫_V div gradφ∙dV. (7)

С учётом (5) приходим к теореме Гаусса в интегральной форме,

∫_S EdS = ∫_V (1/ε₀ )ρdV. (8)

Правая часть (8) (без (1/ε₀ )) даёт суммарный заряд в выделенном объёме, а левая часть (8) – суммарный поток напряжённости поля (5) через замкнутую поверхность, окружающую этот объём. При изменениях размеров, формы поверхности и конфигурации зарядов внутри выделенного объёма, поток, как и суммарный заряд, остаются неизменными. В формуле (8) присутствуют только собственные поля зарядов, только они жестко связаны с зарядами и не зависят от взаимодействия зарядов.

Возвратимся к формуле (6), и вычислим энергию поля системы с помощью интеграла в правой части (6). Для точечных зарядов плотность ρ не равна нулю лишь в тех местах ((0, 0) ≡ 1 и (R₀ , 0) ≡ 2), где находятся заряды. Обозначим φ₁ (1) и φ₂ (2); φ₂ (1) и φ₁ (2) – потенциалы: собственный от Q₁ в месте расположения Q₁ и аналогично для Q₂ ; создаваемый зарядом Q₂ в месте расположения Q₁ и создаваемый зарядом Q₁ в месте расположения Q₂ , соответственно. Все они являются постоянными величинами, и могут быть вынесены за знак интеграла. Записывая ρ с помощью дельта-функций (запись символическая),

ρ = ρ₁ + ρ₂ = Q₁ δ(1) + Q₂ δ(2), (9)

и учитывая, что потенциал в любой точке поля равен φ = φ₁ + φ₂ , находим значение интеграла в виде суммы четырёх слагаемых,

∫_V (1/2)φρdV = (1/2)[φ₁ (1)Q₁ + φ₂ (2)Q₂ + φ₂ (1)Q₁ + φ₁ (2)Q₂ ]. (10)

Легко показать (используя (2) и правую часть (10), и положив R₁ = R₂ = R₀ ), что сумма третьего и четвёртого членов в (10) принимает форму закона Кулона, и в точности равна U.

(1/2)[φ₂ (1)Q₁ + φ₁ (2)Q₂ ] = (1/8πε₀ R₀ )(Q₂ Q₁ + Q₁ Q₂ ) = Q₁ Q₂ /4πε₀ R₀ = U. (11)

Рассмотрим далее интеграл в левой части выражения (6), представляющий альтернативную по отношению к (10) форму для вычисления энергии системы зарядов. Обращаясь к формуле (3), где расписано E² , видим, что W(X, Y) состоит из трёх частей:

W₁ = (ε₀ /2)E₁ ² ; W₂ = (ε₀ /2)E₂ ² ; (12)

W₃ = (ε₀ /2)∙2E₁ E₂ ∙cosα. (13)

Члены W₁ и W₂ описывают неизменные при любых обстоятельствах плотности энергии собственных полей зарядов. Объёмные интегралы от них можно сравнить с членами φ₁ (1)Q₁ /2 и φ₂ (2)Q₂ /2 в формуле (10),

∫_V W₁ dV = φ₁ (1)Q₁ /2, ∫_V W₂ dV = φ₂ (2)Q₂ /2, (14)

и исключить из обоих выражений, (3) и (10). Эта операция позволяет также частично избавиться от проблем, связанных с характеристиками поля на небольших расстояниях от точечных зарядов, и с трудностями учёта собственных полей зарядов в теории [1, 5, 10]. Таким образом, взаимодействие зарядов определяется только членом W₃ , зависящим от силовых характеристик обоих зарядов одновремённо. Аналогом объёмного интеграла от W₃ «на языке зарядов» является выражение (11). Сравнивая интеграл от W₃ с интегралом (11),

∫_V W₃ dV = (1/2)∫_V [φ₁ (2)Q₂ δ(2) + φ₂ (1)Q₁ δ(1)]dV, (15)

можно ожидать, что вычисление интеграла в левой части (15), также приведёт к энергии U, но распределение объёмной плотности энергии в пространстве (формула (13)), вполне очевидно, не будет совпадать с представленным в правой части (15).

Рассмотрим подробнее распределение энергии W₃ в пространстве. Косинус угла α, показанный на рис. 1, играет определённую роль: cosα < 0, если α > 900 (имеет место внутри окружности, вписанной между зарядами с центром в середине отрезка R₀ ), и cosα > 0 во всём остальном пространстве. Поэтому окружность cosα = 0 (в трёхмерном пространстве – сферическая поверхность) является важной границей, она отделяет конструктивную интерференцию от деструктивной. Пространство внутри этой сферы будем называть центральной зоной взаимодействия.

Задача упрощается без ущерба содержанию, если положить

Q₁ = Q₂ = q; (R₁ /R₀ ) = r₁ ; (R₂ /R₀ ) = r₂ ; (X/R₀ ) = x; (Y/R₀ ) = y. (16)

В этом случае единицей измерения координаты становится расстояние между зарядами – отрезок R₀ .

Формула (15) с использованием (3) и (16) принимает вид:

∫_V W₃ dV = (q² /32π² ε₀ R₀ ⁴ )∫_V [(r₁ ² + r₂ ² – 1)/r₁ ³ r₂ ³ ]dV. (17)

Обозначим подынтегральную функцию в правой части (17) символом w₃ (она представляет собой относительное распределение объёмной плотности энергии в пространстве):

w₃ = (r₁ ² + r₂ ² – 1)/r₁ ³ r₂ ³ = 2(x² – x + y² )/{y⁴ + y² [x² + (1 – x)² ] + x² (1 – x)² }^3/2 . (18)