Реферат: Элементарное доказательство великой теоремы Ферма

х ^q = [ (z ) ^q/2 ] ² - [ (y ) ^q/2 ] ² . (4)

Обозначим

х ^q = 2a , (z ) ^q/2 + (y ) ^q/2 = 2b и (z ) ^q/2 - (y ) ^q/2 = 2с .

Тогда правая часть уравнения (4) равняется (4bc ), а левая часть (2а ), т.е.

а = 2bc . (5)

Заметим далее, что имеют место также следующие соотношения:

b + c = (z ) ^q/2 , b - c = (y ) ^q/2 , (6)

(b + c ) ² = (z ) ^q , (b - c ) ² = (y ) ^q . (7)

Из уравнений (7) следует, что

(z ) ^q + (y ) ^q = (b + c ) ² + (b - c ) ² = (b ² + c ² + 2bc ) + (b ² + c ² - 2bc ) = 2 (b ² + c ² ) (8)

Предположим, что b ² и c ² не являются целыми числами. Запишем их в виде b ² = B + s и с ² = С + g , где B и C - целые части чисел b и c , а |s | < 1 и |g | < 1 - их дробные части. Тогда из уравнения (8) получаем

(z ) ^q + (y ) ^q = 2 (B + C + s + g ). (9)

Так как левая часть уравнения (9) является целым четным числом, то (B + C + s + g ) также должно быть целым числом и, следовательно, (s + g ) должно равняться 0 или ±1, т.е. g = - s + ρ, где ρ может принимать значения 0 (при s = 0), +1 или - 1 (соответственно, при положительных или отрицательных значениях s ).

Из уравнения (z ) ^q/2 + (y ) ^q/2 = 2b следует, что значение b > 1, так как z > y > 1. Но любое нецелое число b > 1 может быть двояким образом представлено в виде суммы целой и дробной части. Во-первых, такое число всегда можно записать в виде (В ₁ + s ₁ ) с положительным значением дробной части s ₁ > 1. Во-вторых, прибавляя и вычитая из этого выражения единицу получаем (В ₁ + 1 - 1 + s ₁ ) = (В + s ), где В = В ₁ + 1 - это целая часть числа b , а s = (s ₁ - 1) - дробная часть числа b . Поскольку s ₁ < 1, то значение s < 0 при таком представлении числа b . При s = 0 можно считать, что s ₁ = 0 и В ₁ = В .

Сначала будем полагать, что число b представлено в виде b = (В + s ) со значением s < 0. При этом, как отмечено выше, значение ρ = - 1.

Рассмотрим далее произведение

(zy ) ^q = (b + c ) ² (b - c ) ² = b ² + c ² + 2bc ) (b ² + c ² - 2bc ) = (b ² + c ² ) ² -4b ² c ² . (10)

Учитывая, что b ² = B + s и с ² = С + ρ - s , преобразуем правую часть уравнения (10):

(zy ) ^q = (B + С + ρ) ² - 4 (В + s ) (С + ρ - s ) = (B + С + ρ) ² - 4 В (С + ρ) + 4s (В - С - ρ) + 4s ²

или

Е = (zy ) ^q + 4В (С + ρ) - (B + С + ρ) ² = 4sN + 4s ² , (11)

где N = (В - С - ρ) > 0, так как В > С + ρ (это следует из второго уравнения (6) с учетом того, что любые целочисленные корни уравнения (1) должны быть больше q ≥ 3 [1]). Таким образом, для величины s получаем квадратичное уравнение

s ² + s (В - С - ρ) - 0,25Е = 0, (12)

где величина Е ≤ 0, так как правая часть уравнения (11) отрицательна при s < 0 (поскольку целое положительное число N > |s | и ρ = - 1) или равна нулю при s = 0.

Для положительного значения s ₁ = (1 + s ) получаем также уравнение (12), но со значением ρ = 1 и (В - 1) вместо В , т.е.

(1 + s) ² + (1 + s) (В - 1 - С - 1) - 0,25 [ (zy ) ^q + 4 (В - 1) (С + 1) - (B - 1 + С + 1) ² ]

или

s ² + 2s + 1 + s (В - С - 2) - 0,25 [ (zy ) ^q + 4 (В - 1) (С + 1) - (B + С ) ² ] = 0. (13)