Реферат: Элементарное доказательство великой теоремы Ферма

Из уравнения (1) при n = q ³ 3 получаем x^q + y ^q = b ² + c ² = z^q . Предположим, что b ² и c ² не являются целыми числами. Запишем их в виде b ² = B + s и с ² = С + g , где B и C - целые части чисел b и c , а |s | < 1 и |g | < 1 - их дробные части. Поскольку z^q является целым числом, то и b ² + c ² = B + s + С + g также должно быть целым числом и, следовательно, (s + g ) должно равняться 0 или ±1, т.е. g = - s + ρ, где ρ может принимать значения 0 (при s = 0), +1 или - 1 (соответственно, при положительных или отрицательных значениях s ).

Из второго уравнения (20) следует, что значение b > 1, так как x и y больше q ³ 3 [1]. Но любое нецелое число b > 1 может быть двояким образом представлено в виде суммы целой и дробной части. Во-первых, такое число всегда можно записать в виде (В ₁ + s ₁ ) с положительным значением дробной части s ₁ > 1. Во-вторых, прибавляя и вычитая из этого выражения единицу получаем (В ₁ + 1 - 1 + s ₁ ) = (В + s ), где В = В ₁ + 1 - это целая часть числа b , а s = (s ₁ - 1) - дробная часть числа b . Поскольку s ₁ < 1, то значение s < 0 при таком представлении числа b . При s = 0 можно считать, что s ₁ = 0 и В ₁ = В .

Будем далее полагать, что число b представлено в виде b = (В + s ) со значением s < 0. При этом значение ρ = - 1. Для этого представления числа b запишем (y ) ^q в виде

(y ) ^q = (b - c ) ² = b ² + с ² - 2bc = (В + s - С - 1 + s ) ² - 2bc. ( 24)

Далее представим b в виде b = (В ₁ + s ₁ ), где s ₁ > 0, а ρ = 1. Тогда значение (y ) ^q можно записать в виде

(y ) ^q = = (В ₁ + s ₁ - С + 1 + s ₁ ) ² - 2bc = (В - 1 + s + 1 - С + 1 + s + 1) ² - 2bc = (В - С + 2 + 2s) ² - 2bc . (25)

Вычтем из (25) уравнение (24). В результате получаем 6 (В - С - 1) + 9 + 12s = 0 или < 0, т.к из уравнений (20) следует, что целое число В > С + 1. Но при этом модуль s оказывается больше единицы. Уравнения (24) и (25) дают одинаковые значения s только в случае s ₁ = s = 0. При этом ρ = 0 и В ₁ = В .

Таким образом, значение s дробной части числа b равно нулю и ρ = 0. При этом дробная часть числа с , равная g = - ρ + s , также равна нулю, т.е. b и c являются целыми числами. Но при целых числах b и c из уравнений (22) следует, что x = (x ₁ ) ² и y = (y ₁ ) ² , так как только в этом случае правая часть этих уравнений при нечетных значениях q ³ 3 будет целым числом.

Это означает, что для нахождения целочисленных решений уравнения (1) при нечетных значениях q ³ 3 и четном значении z и z ₁ достаточно найти целочисленные решения уравнения Пифагора

[ (х ₁ ) ^q ] ² + [ (y ₁ ) ^q ] ² = [ (z ₁ ) ^q ] ² . (26)

Но как показано в замечании к лемме 1 уравнение (26) при четном значении z и (z ₁ ) ^q не может иметь целочисленных решений. Следовательно, уравнение (1) при нечетном значении n = q ³ 3 и четном значении z также не имеет целочисленных решений. Поэтому далее достаточно доказать, что целочисленных решений не имеет также и уравнение (14).

Доказательство великой теоремы ферма. Уравнения (1) и (14) полностью эквивалентны, т.е. либо не существует целочисленных решений у обоих уравнений, либо целочисленные решения одновременно имеют уравнения (1) и (14). Покажем, что уравнения (14) не имеет целочисленных решений, а, следовательно, не имеет целочисленных решений также уравнение (1).

Доказательство проведем от противного. Предположим, что уравнения (14) и (1) имеют целочисленные решения. Без ограничения общности доказательства можно считать четным число х . Выберем среди всех примитивных решений уравнения (14) некоторую тройку чисел (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) с минимальным значением z ₁ . Соответствующее решение уравнения (1) будет иметь вид x = (x ₁ ) ² , y = (y ₁ ) ² и z = (z ₁ ) ² , где значение z = (z ₁ ) ² является минимальным для всех решений уравнения (1). Согласно лемме 1 любое решение уравнения (14) при четном значении x ₁ описывается формулами (3), т.е.

(х ₁ ) ^q = 2mn , (27)

(z ₁ ) ^q = m ² + n ² , (28)

(y ₁ ) ^q = m ² - n ² , (29)

где m и n - взаимно простые числа разной четности.

A. Рассмотрим сначала случай, когда четным является число n = 2р . Тогда (х ₁ ) ^q = 4mр . Поскольку числа m и 4р взаимно просты, то отсюда согласно лемме 2 вытекает, что m = (z ₂ ) ^q , 4р = t ^q , где z ₂ и t - некоторые целые (очевидно, взаимно простые) положительные числа. В частности из уравнения (29) получаем (y ₁ ) ^q = (z ₂ ) ^q - [ (t /2^{1/ q} ) ² ] ^q или с учетом того, что целочисленные решения этого уравнения имеют вид y ₁ = [ (y ₃ )] ² и z ₂ = (z ₃ ) ² , получаем уравнение

[ (y ₃ ) ^q ] ² + (t ^q /2) ² = [ (z ₃ ) ^q ] ² .

В силу выбора решения (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) с минимальным значением z ₁ должно иметь место неравенство z ₂ ³ z ₁ , а потому и неравенство (z ₂ ) ^q ³ (z ₁ ) ^q . В результате получаем абсурдное неравенство m ³ m ² + n ² .

B. Рассмотрим теперь случай, когда в уравнениях (27) - (29) четным является число m = 2k , а нечетным число n . Поскольку числа 4k и n взаимно просты, из уравнения (27) согласно лемме 2 вытекает, что 4k = (z ₂ ) ^q и n = t ^q . где z ₂ и t - некоторые целые (очевидно, взаимно простые) положительные числа. Тогда из уравнения (29) получаем (y ₁ ) ^q = [ (z ₂ ) ² /2^{2/ q} ] ^q - [ (t ) ² ] ^q или

(y ₁ ) ^q + [ (t ) ² ] ^q = [ (z ₂ ) ² /2^{2/ q} ] ^q . (30)

Поскольку целочисленными решениями этого уравнения являются только квадраты некоторых целых чисел, то y ₁ = (y ₂ ) ² . Тогда уравнение (30) может быть записано в виде [ (y ₂ ) ^q ] ² + [ (t ) ^q ] ² = [ (z ₂ ) ^q /2] ² . Согласно лемме 2 существуют такие положительные взаимно простые числа а и b различной четности, что (t ) ^q = 2ab , (y ₂ ) ^q = a ² - b ² , (z ₂ ) ^q /2 = a ² + b ² . Поскольку z ₂ является нечетным числом, то (z ₂ ) ^q /2 не может быть целым числом, так как (z ₂ ) ^q также будет нечетным числом, т.е. последнее целочисленное равенство не может иметь место. Это означает, что целочисленных решений уравнений (1) и (14) при четном числе m = 2k также не существует.

Заметим, что в этом случае из неравенства z ₂ > z ₁ или (z ₂ ) ^q > (z ₁ ) ^q также получается абсурдное неравенство 2m > m ² + n ² (случай равенства правой и левой частей при m = 1 и n = 1 не должен рассматриваться, так как при этом не будет выполняться уравнение (27)).

Оба случая А и В привели к абсурдным неравенствам. Это означает, что целочисленных решений уравнений (1) и (14) не существует. Тем самым теорема Ферма доказана элементарными методами с использованием только той математической информации, которой мог и должен был обладать Пьер Ферма 350 лет назад.

Литература

1. Постников М.М. Теорема Ферма. - М.: Наука, 1978, 128 с.