Реферат: Элементарное доказательство великой теоремы Ферма
s - [ (В - 1) (С + 1) - 0,25 (B + С ) 2 ] + [В (С - 1) - 0,25 (B + С - 1) 2 ] + 1= 0
или s = - 0,5 (В - С ) - 0,75 < 0.
Но модуль s оказывается больше единицы, поскольку В > C . Уравнения (12) и (13) дают одинаковые значения s только в случае s 1 = s = 0. При этом ρ = 0 и В 1 = В .
Таким образом, значение s дробной части числа b равно нулю и ρ = 0. При этом дробная часть числа с , равная g = - ρ + s , также равна нулю, т.е. b и c являются целыми числами. Но при целых числах b и c из уравнений (6) следует, что y = (y 1 ) 2 и z = (z 1 ) 2 , так как только в этом случае правая часть этих уравнений при нечетных значениях q ³ 3 и взаимно простых числах x , y и z будет целым числом.
Аналогичным образом можно показать, что х также является квадратом некоторого целого числа х 1 . Из уравнения (4) можно получить уравнение x 2 q = [ (z ) q /2 xq /2 ] 2 - [ (x ) q /2 yq /2 ] 2 . Обозначим xq /2 zq /2 - xq /2 yq /2 = 2с 2 и xq /2 zq /2 + xq /2 yq /2 = 2b 2 , где аналогично случаю, рассмотренному выше, можно показать, что с 2 и b 2 могут быть только целыми числа. Из двух последних уравнений получаем xq /2 zq /2 = (b 2 + с 2 ) и xq /2 yq /2 = (b 2 - с 2 ). При целых числах с 2 , b 2 , zq /2 и yq /2 левая часть этих уравнений будет целым числом только в случае x = (x 1 ) 2 .
Это означает, что для нахождения целочисленных решений уравнения (1) при нечетных значениях q ³ 3 и четном значении x или y достаточно найти целочисленные решения уравнения Пифагора
[ (х 1 ) q ] 2 + [ (y 1 ) q ] 2 = [ (z 1 ) q ] 2 . (14)
В). Рассмотрим теперь случай четного значения числа z и нечетных значений х и y . Умножим уравнение (1) при n = q ³ 3 на z q и запишем его в виде (xz ) q = z 2 q - (yz ) q . Обозначим (zх ) q = 2a , (z ) q + (zy ) q/2 = 2b и (z ) q - (zy ) q/2 = 2с . Тогда правая часть уравнения (xz ) q = z 2 q - (yz ) q равняется (4bc ), а левая часть (2а ), т.е.
а = 2bc . (15)
Заметим далее, что имеют место также следующие соотношения:
b + c = (z ) q , b - c = (zy ) q/2 , (16)
(b + c ) 2 = (z ) 2 q , (b - c ) 2 = (zy ) q . (17)
Из уравнений (17) следует, что
(z ) 2 q + (zy ) q = (b + c ) 2 + (b - c ) 2 = (b 2 + c 2 + 2bc ) + (b 2 + c 2 - 2bc ) = 2 (b 2 + c 2 ) (18)
Предположим, что b 2 и c 2 не являются целыми числами. Запишем их в виде b 2 = B + s и с 2 = С + g , где B и C - целые части чисел b и c , а |s | < 1 и |g | < 1 - их дробные части. Тогда из уравнения (18) получаем
(z ) 2 q + (zy ) q = 2 (B + C + s + g ) (19)
Так как левая часть уравнения (19) является целым четным числом, то (B + C + s + g ) также должно быть целым числом и, следовательно, (s + g ) должно равняться 0 или ±1, т.е. g = - s + ρ, где ρ может принимать значения 0 (при s = 0), +1 или - 1 (соответственно, при положительных или отрицательных значениях s ).
Из уравнения (z ) q + (zy ) q/2 = 2b следует, что значение b > 1, так как z > y > 1. Но любое нецелое число b > 1 может быть двояким образом представлено в виде суммы целой и дробной части. Во-первых, такое число всегда можно записать в виде (В 1 + s 1 ) с положительным значением дробной части s 1 > 1. Во-вторых, прибавляя и вычитая из этого выражения единицу получаем (В 1 + 1 - 1 + s 1 ) = (В + s ), где В = В 1 + 1 - это целая часть числа b , а s = (s 1 - 1) - дробная часть числа b . Поскольку s 1 < 1, то значение s < 0 при таком представлении числа b . При s = 0 можно считать, что s 1 = 0 и В 1 = В .
Будем далее полагать, что число b представлено в виде b = (В + s ) со значением s < 0. При этом значение ρ = - 1. Рассмотрим произведение
(z 2 q ) (zy ) q = (b + c ) 2 (b - c ) 2 = b 2 + c 2 + 2bc ) (b 2 + c 2 - 2bc ) = (b 2 + c 2 ) 2 - 4b 2 c 2,
и повторим полностью описанную после уравнения (10) процедуру доказательства, приведенного выше. В результате из второго уравнений (16) можно получить, что z = (z 1 ) 2 и y = (y 1 ) 2 , где z 1 и y 1 - некоторые целые числа. Только в этом случае правая часть этого уравнения при взаимно простых числах z и y будет целым числом. Может показаться, что числа z и y могут также иметь иной вид: z = (z 1 ) 2 R и y = (y 1 ) 2 E при условии, что целые числа R и E являются взаимно простыми, а их произведение RE является квадратом некоторого целого числа F . Но согласно лемме 2 из уравнения RE = F 2 следует, что взаимно простые числа R и E должны быть квадратами некоторых целых чисел Q и D , а это означает, что z и y и в этом случае представимы в виде квадратов целых чисел z = (Qz 1 ) 2 и y = (Dy 1 ) 2 .
Покажем далее, что число x также представимо в виде x = (x 1 ) 2 , где x 1 является некоторым целым числом. Для этого рассмотрим уравнение (1) при n = q ³ 3 и четном значении z . Обозначим
zq /2 = 2a , xq /2 + y q /2 = 2b , xq /2 - y q /2 = 2c . (20)
Из уравнений (20) можно получить следующие равенства:
а = 2bc . (21)
b + c = (x ) q/2 , b - c = (y ) q/2 , (22)