Реферат: Элементы теории устойчивости

2. Если среди корней характеристического уравнения системы первого приближения найдется хотя бы один с положительной вещественной частью (21), то невозмущенное движение исходной нелинейной системы неустойчиво.

3. Если характеристическое уравнение системы первого приближения не имеет корней с положительной вещественной частью, однако имеет такие, у которых вещественные части равны нулю (22), то ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости исходной нелинейной системы дан быть не может на основании линейного анализа. Необходимо более глубокое нелинейное исследование.

Т. о., два первых положения описывают так называемые «некритические» случаи, в которых можно дать ясный ответ на вопрос об устойчивости нелинейной системы на основании исследования системы первого приближения. Третье положение соответствует «критическому» случаю, когда определенный вывод об устойчивости или неустойчивости нелинейной системы можно сделать только при дополнительном исследовании уравнений с учетом нелинейных слагаемых более высоких порядков малости, чем первый.

Методы анализа устойчивости линейных и линеаризованных систем.

Итак, для определения устойчивости такой системы необходимо определение всех корней ее характеристического уравнения до единого. Однако в системах высокого порядка вычисление корней весьма затруднительно. При этом часто приходится прибегать к численным методам, что еще более затрудняет задачу.

Чтобы избежать указанных трудностей и не вычислять вообще корней характеристического уравнения был разработан ряд методов, так называемых критериев устойчивости. При их помощи можно определить характер устойчивости или неустойчивости системы, не вычисляя корней характеристического уравнения.

В настоящее время известно множество критериев устойчивости, позволяющих решать задачу при различных, конкретных условиях. Таковы алгебраический критерий Гурвица, критерий Рауса, частотный критерий Найквиста с различными дальнейшими модификациями, например, Михайлова, и др. Несмотря на формальное различие перечисленных критериев друг от друга, по сути все они основаны на известной теореме теории функций комплексного переменного, а именно, теореме Коши относительно числа нулей и полюсов функции, аналитической в заданной области.

Поскольку критерии устойчивости обстоятельно изложены в литературе, в дальнейшем ограничимся подробным рассмотрением лишь двух из множества критериев: Гурвица и Рауса.

Необходимое условие устойчивости.

????? ?????????????????? ????????? ???????? ??? ??????????????? ??????? ????????? (12) ???????????? ???????? ???????????? ? ???? (17), ??????, ??? ??????????????

В противном случае уравнение умножают на –1.

Нетрудно доказать следующее необходимо условие устойчивости. Для устойчивости линейной системы любого порядка необходимо, но не достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными.

Иными словами, если линейная система устойчива, то коэффициенты ее характеристического уравнения положительны, но не наоборот.

??? ?????????????? ???????, ??? ??????? ???????? ?????????, ?. ?. ??? ????? ?? ??????????????????? ????????? ????? ????????????? ???????????? ?????:

Характеристическое уравнение (17), как известно, можно записать в виде:

Тогда, подставляя (24) в (25), получим

Последнее соотношение можно записать в следующей форме:

????? ??????????, ???, ????????? ?????? ? ?????????? ??????????? ? ????????? ?????????, ????? ???????? ?????? ????????????? ???????????? ? ?????????????????? ????????? (17).

Тем самым доказано утверждение, что все коэффициенты характеристического уравнения положительны (28), (23), если система устойчива.

Критерий Гурвица.

Гурвиц разработал критерий, который дает необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы. Приведем эту теорему без доказательства.

Общий определитель Гурвица Δ _n имеет n столбцов и n строк и составляется из коэффициентов a_ν (23), (17) характеристического уравнения в соответствии со следующим выражением:

??????? ???????????? ??????? ????? ???:
? ??? ?????. ????? ???????????? Δ_n ????? ???? ???????? ?? ?????????? ??????? ? ????????:

Критерий Гурвица формулируется следующим образом.

??? ???????????? ???????? ??????? n -?? ??????? ?????????? ? ??????????, ????? ??? n ??????? ????????????? ??????? Δ_ν­ , ν=1,2,.. n , ?????????? ?? ?????? ???????????? (30), (31), ????????????? ?? ????????????? а₀ , а₁ , а₂ ,...а _n ??????????????????? ????????? (17), ???? ????????????:
??????, ? ?????????, ???????? ???????

Рассмотрим простейшие частные случаи систем 1-го, 2-го и 3-го порядков, имея в виду, что выполняется условие (23).

????? ??? ??????? ??????? ??????? ? ?????????????????? ??????????
???????? ???????????? ? ???????????? ? ????????? ??????? ?????
??? ??????? ??????? ??????? ? ?????????????????? ??????????
??????? ???????????? ???????? ???????? ??????? ?????? ???:
?? ????????? ???? ??????? ???????:

Т. о., для рассмотренных систем 1-го и 2-го порядков условие, что все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными, является также и достаточным для устойчивости. Иными словами для систем 1-го и 2-го порядков необходимое и достаточное условие устойчивости, сформулированное на основании критерия Гурвица, совпадает с необходимым условием устойчивости, доказанном выше (28), (23), (17).

???????, ?????????? ??????? ???????? ??????? ? ?????????????????? ??????????
??? ??????? ?? ????????? ???????? ??????? ????? ???????? ????????? ??????? ????????????:
?? ???? ?????????? ????????:

Отсюда следует, что для линейных систем третьего порядка необходимое и достаточное условие, сформулированное с помощью критерия Гурвица, не совпадает с необходимым условием устойчивости, доказанным выше.

Таким образом, данные, полученные с помощью критерия Гурвица, позволяют судить об устойчивости систем 1-го и 2-го порядков непосредственно по виду их характеристических уравнений и знаку его коэффициентов; проведения других дополнительных исследований не требуется. Это очень часто весьма облегчает задачу. Для систем же, описываемых уравнениями 3-го и более высоких порядков, проведение специального исследования устойчивости является совершенно неизбежным.

Критерий Рауса.

Во многих случаях при анализе устойчивости решение характеристического уравнения (17) системы является длительным и трудным. Раусом был предложен метод, позволяющий определить характер корней характеристического уравнения (18) без непосредственного нахождения их. Этот метод позволяет получить важные сведения об устойчивости системы (12), не прибегая к громоздким математическим операциям.

Кратко метод заключается в следующем. Из коэффициентов характеристического уравнения составляется так называемая таблица Рауса в соответствии с записанным далее выражением.

ФОРМУЛА 42

В общем виде элементы таблицы Рауса по мере повышения номера ее строки представляются соотношениями чрезвычайно громоздкими. Однако, как будет показано ниже, при численных расчетах анализ значительно упрощается.

Завершив процесс построения таблицы, исследуем первый ее столбец. Если знаки всех элементов этого столбца одинаковые, то характеристическое уравнение (17) не имеет корней с положительными вещественными частями. Если члены первого столбца не все имеют одинаковые знаки, то число корней с положительными вещественными частями равно числу изменений знаков.

Следует отметить, что критерий Рауса неприменим в двух случаях. Во-первых, когда какой-либо элемент первого столбца, начиная со второго, равен нулю. Тогда все члены следующей строки будут равны бесконечности. Во-вторых, когда все элементы второй или любой из следующих строк равны нулю. В этих специальных случаях необходимо использовать для анализа другие методы.

??? ??????? ?????????? ?????????:
??????????? (43) ? (17), ????? ????????
????? ??????? ????? ????? ????? ????????? ???:
????????, ??? ???? ????????? ??????? ??????? ??????? ??????? ?????????? ? ????? ?? ?????, ? ????? ? ????? ?? ?????. ??? ????????, ??? ????????? ????? ??? ????? ? ?????????????? ????????????? ???????. ?????????????, ??????? ????????? (43) ????????:

Следует иметь в виду, что для упрощения вычислений можно разделить (или умножить) все элементы любой строки на положительное число, прежде чем использовать их для получения следующей строки. Очевидно, что такая операция не изменит знака членов следующей строки и не отразится на конечном результате. Например, элементы третьей строки таблицы (45) можно было бы разделить на 8 для упрощения последующих вычислений.

Анализ результатов устойчивости в нелинейных системах.

При исследовании устойчивости в цепях постоянного тока при малых возмущениях обнаружение неустойчивости возможно только при наличии элементов с отрицательным дифференциальным сопротивлением. Элементы с «падающими» участками на вольт - амперной характеристике, как известно, разделяются на две группы.