Реферат: Эволюция представлений о пространстве
Изменения кривизны в пространстве могут быть одного из трех родов:
кривизна пространства может изменяться от точки к точке;
кривизна пространства может изменяться со временем;
кривизна пространства может изменяться обоими способами.
В физическом мире не имеет места ничего, кроме изменения кривизны пространства при том явлении, которое мы называем движением материи.
Теперь
На первое место вышли проблемы концептуального пространства.
В начале ХХ века сделан еще один шаг: число координат стало "бесконечным".
Это - (арифметическое) гильбертово пространство l2. В этом пространстве определены те же арифметические операции и определена норма вектора.
В дальнейшем Банах и Винер определили норму аксиоматически, а Колмогоров и фон Нейман ввели понятие топологического векторного пространства, отделив от ветви пространств с метрикой Пифагора ветвь топологических пространств.
Концептуальное математическое пространство конструируется с помощью аксиом как состоящее из "точек" с определенными для них отношениями. Именно для исследования этих отношений и используется то или иное пространство: n-мерное векторное пространство; гильбертово пространство l2; пространство непрерывных функций; пространство многочленов над полем коэффициентов; гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом; фазовое пространство состояний объекта; пространство цветов.
Является ли такая конструкция "правильной"? Существует ли эмпирическое подтверждение или опровержение? И как нам жить с этими фикциями, то бишь абстракциями?
В математике концепция пространства эволюционировала вне связи с физикой и другими науками, но результаты этого процесса совершили в физике очередной квантовый переход и были оценены по достоинству.
Пространство в физике - носитель свойств, связанных с законами сохранения. Группам преобразований с одним непрерывным параметром, сохраняющим действие, соответствуют законы сохранения.
Концептуальное физическое пространство конструируется как оснащенное математическое пространство. Чтобы только взглянуть на эти результаты, не говоря уже об овладении ими, требуется преодолеть высокий математический - на самом деле концептуальный - барьер.
Новая трудность: метрику пространства определяет не сила тяготения (сущность), а геометрия (формула). А где же масса? А как же мы?..
Приложение
В русле размышлений о доказательстве неоднократно предпринимались попытки доказать как теорему утверждение (постулат) Евклида о параллельных (в формулировке Евклида: если отрезки AC и BD, лежащие по одну и ту же сторону от отрезка AB, образуют с ним углы A и B, A+ B<180 , то отрезки AC и BD, будучи продолженными, пересекутся). Теоремы, доказанные в поисках доказательства от противного, в конце концов образовали целые "новые геометрии", в которых пятый постулат был заменен его отрицанием. Недоставало одного - желанного противоречия (противоречия с чем?). Обращение к опыту, к измерениям в реальном пространстве не привело к выбору единственно "правильной" геометрии: сумма углов треугольника получалась в новых геометриях меньшей 180 , а измерения на местности (Гаусс) и в космическом пространстве имели погрешность, которая не давала оснований сделать "правильный выбор". Гаусс, Бояи и Лобачевский оставили проверку евклидовости реального пространства последующим поколениям. Координатный способ представления геометрических объектов, восходящий к Декарту, доставляет их аналитическую интерпретацию и разрешает проблему противоречивости: модель неевклидовой плоскости евклидовыми средствами позволяет утверждать, что неевклидова геометрия и евклидова геометрия одинаково (не)противоречивы.
Риман изобрел еще одну неевклидову геометрию (сферическую), в которой через точку вне прямой на плоскости нельзя было провести ни одной прямой, не пересекающей данной прямой. Риман продолжил конструирование "геометрий", совершив эволюционный шаг, все значение которого удалось осознать усилиями нескольких поколений. Риман предложил принципиально новый подход к конструированию математического пространства: не от большого к малому, а наоборот.
На евклидовой плоскости теорема Пифагора приводит к формуле для определения интервала между двумя точками (квадрата элемента длины):
ds2 = dx2 +dy2
ds2 = dx2 +dy2
ds2 = (dx1 )2 +(dx2 )2
Индексы при координатах перемещены вверх (и не случайно).
Параллельный перенос и поворот системы координат не изменяют длины интервала.
В косоугольной системе координат с углом ? между осями квадрат элемента длины вычисляется так:
ds2 = (dx1 )2 +2dx1 dx2 cos?+(dx2 )2
В криволинейной системе координат U,V малый интервал по поверхности
Ds2 = Kdu2 +2Ldudv +Mdv2 (квадратичная форма)
определяется через коэффициенты, зависящие от (начальной) точки (интервала) и укладывается по геодезической линии. Гаусс представил поверхность как пространство, все свойства которого заключены в квадратичной форме; она задает геометрию.
Трехмерное пространство с тех пор стало частным случаем трижды протяженной величины. Квадратичная форма определяет метрику, отражающую, например, физические свойства нагретого тела.