Реферат: Финансовые риски в страховом бизнесе модели и методы оценки

где Q — страховой фонд на конец рассматриваемого периода; u — начальный капитал страховой компании (в различных источниках именуемый также как начальный резерв страховой компании); D = d · N , где d — страховая премия, выплаченная компании одним страхователем, при условии равенства величины премии по всем договорам страхования, или в более общем случае

Суммарная величина выплат по договорам страхования определяется суммой

(2)

Обычно предполагается, что в модели индивидуального риска случайные величины X 1 ..., X N независимы (т. е. исключаются события, когда одновременно по нескольким договорам наступают страховые случаи), неотрицательны и ограничены, и, кроме того, все страхователи однородны, т. е. X 1 ..., X N одинаково распределены. Поскольку страховые случаи происходят не по всем договорам, то некоторые из случайных величин X 1 ..., X N , где X i — потери по i -му договору, равны нулю.

Динамическая модель финансового состояния страховой компании записывается в форме равенства, аналогичного (1) [9]:

(3)

где П( t ) — величина премии, полученной к моменту t > 0.

Или, иначе,

(4)

где W ( t ) — случайная величина превышения доходов над расходами, определяется как техническая прибыль; N ( t ) — случайный процесс количества страховых случаев, произошедших к моменту времени t ; при неубывающей последовательности случайных величин t 0 = 0 ≤ t 1 ≤..., характеризующей моменты наступления отдельных исков; T n = t n – t n –1 , n ≥ 0, — время между наступлениями исков; общее количество поданных исков к моменту t 0 составит N ( t ) = sup { n : t n ≤ t }. Между случайными величинами N ( t ) и последовательностью { t n } имеется взаимосвязь { N ( t ) = n } = t n ≤ t ≤ t n + 1 }; С — норма рисковой премии, получаемой по всем договорам в каждый момент времени; X i ( t ) — случайный процесс величины ущерба по i -му страховому случаю, произошедшему до момента времени t . При N ( t ) = 0 очевидно, что X ( t ) = 0.

Случайный процесс

(5)

в экономико-математических исследованиях называют процессом риска [4].

Традиционной мерой риска и ключевым понятием задачи о разорении в страховании считается вероятность разорения ( ruin ) .

Для статической модели финансовой устойчивости страховщика указанная вероятность с учетом равенства (1) формально может быть определена как

(6)

т. е. как вероятность того, что совокупные выплаты превысят активы компании.

Для динамической модели устойчивости страховщика вероятность разорения может быть представлена следующим выражением:

(7)

φ ( u ) = P [ᴲ t 0 < ∞ : t 0 = min{ t : u + W ( t ) < 0}]

т. е. как вероятность того, что имеющихся средств в какой-либо момент времени бесконечного промежутка не хватит для осуществления страховых выплат, или для конечного интервала [0,T]

(8)

φ ( u , T ) = P [ᴲ t 0 : 0 ≤ t 0 ≤ T , t 0 = min{ t : u + W ( t ) < 0}]

где T — некоторый временной «горизонт».

Оценка вероятности разорения страховщика для конечного периода времени в большей степени соответствует практике, в то же время для бесконечного интервала получить аналитическую оценку проще.

О величинах N ( t ) , определяющих количество требований (исков), предполагается, что:

(9)

1) N ( t ) = 0;

2) N ( t ) є {0, 1, 2, ...};