Реферат: Финансовые риски в страховом бизнесе модели и методы оценки

где U имеет то же распределение, что и U i ; θ — константа, называемая коэффициентом нагрузки .

Такая структура премии вытекает из принципов эквивалентности отношений страховщика и страхователя и финансовой устойчивости страховой компании. Приведенная формула (15) означает, что в среднем общие премии должны быть больше, чем кумулятивные выплаты по искам (в случае равенства премия называется нетто-премией , а сам принцип исчисления нетто-премии — принципом эквивалентности ).

Есть и другие принципы формирования премий, например bonus - malus система , когда держатели страховых полисов распределены на несколько групп в зависимости от предыстории подач исков и могут быть перемещены из одной группы в другую. Типичный пример — автомобильное страхование: если автовладелец в течение определенного «страхового» времени не предъявлял исков, то он может быть переведен в группу клиентов, платящих меньшую премию.

Вычисление адекватной премии состоит в построении процесса П( t ) по функции распределения процесса риска F x ( t ) . При этом важно стремиться вычислить премию по возможно более простым характеристикам процесса x : математическому ожиданию и дисперсии. Чтобы подчеркнуть определяющее влияние риска на формирование премий, обозначим зависимость премий от риска X через П( Х ) или же П( F x ), где F x — функция распределения x .

Отметим общие свойства премий:

П( а ) = а для любой константы а , если отсутствует коэффициент

нагрузки;

П( а · Х ) = а · П( Х ) для любой константы а ;

П( X + Y ) < П( X ) + П( Y );

П( Х + а ) = П( Х ) + а для любой константы а ;

Приведем следующие традиционные актуарные принципы формирования премий :

П( Х ) = (1 + а ) · ЕХ , а > 0 (принцип математического ожидания);

П( Х ) = EX + a · DX (принцип дисперсии);

П( X ) = EX + a · k x , (принцип абсолютного отклонения).

Для заданной функции полезности V часто используется принцип нулевой полезности , означающий, что премия определяется из отношения Е ( V (П( Х ) — Х )) = V ( 0 ).

Рассмотрим индивидуальную модель риска . Пусть портфель состоит из n полисов с выплатами («рисками») U 1 , U 2 , ..., U n , представляющими независимые неотрицательные случайные величины. Тогда процесс риска имеет распределение F U 1 · ... · F Un .

Допустим, что страховая компания заключает n договоров страхования с фиксированным сроком действия, например 1 год. По одному договору страхования допускается не более одного иска. Выплаты по i -му иску — случайная величина U i , которая может оказаться равной нулю. Тогда сумма, которую компания выплачивает клиентам в конце этого года, и есть в данном случае процесс риска: . Предполагается, что возмещение ущерба по искам производится в момент окончания срока действия полиса. Соответственно вероятностью разорения следует считать p { X ind > u + П}, где u — начальный капитал; П — собранные за этот срок премии.

Рассмотрим модель индивидуального риска с достаточно большим числом договоров n . Точный расчет вероятности разорения представляет существенные технические трудности, поэтому используют ее приближение на основе центральной предельной теоремы.

Принцип нетто-премии приводит к равенству П = EX ind . Тогда для вероятности разорения находим, что

(16)

Таким образом, принцип нетто-премии в данном случае неприемлем , так как с позиции финансовой устойчивости неприемлема величина вероятности разорения страховой компании. То есть необходимо введение рисковой надбавки с целью выполнения условия финансовой устойчивости, заключающегося в том, что собранных премий должно хватить на выплату возмещений с вероятностью, близкой к единице.

Согласно принципу стандартного отклонения

(17)

Далее, для фиксированного уровня риска ε из специальных таблиц можно найти параметр а * такой, что Ф( а *)=1– ε. Тогда, полагая а = а *, находим такую премию с нагрузкой, при которой обеспечивается вероятность разорения P { X ind > П} ≈ε.

Таким образом, определение нетто-премии является обратной задачей к условию финансовой устойчивости, т. е. неразорения.

Методы вычисления вероятности разорения страховой компании

В моделях индивидуального риска, рассмотренных выше, исследуются отдельные договоры и связанные с ними возможные выплаты. Для получения характеристик портфеля в целом суммируются характеристики отдельных договоров. С формальной точки зрения получается простая модель в том случае, если любой из договоров портфеля может привести только к одному требованию о выплате или не привести к нему. Только такие договоры и связанные с ними риски рассматривает модель индивидуального риска. Тем не менее известно, что в большинстве видов имущественного страхования один договор может привести к нескольким требованиям. Такие договоры и связанные с ними риски исследуются в моделях коллективного риска.

Пусть теперь количество полисов N , которые могут быть предъявлены к оплате, неизвестно. При этом выделим два типа контрактов — статический и динамический. Статический контракт характеризуется тем, что оплата иска происходит в конце контракта и поэтому N — целочисленная случайная величина. При рассмотрении динамических моделей N = N ( t ) — случайный процесс, считающий количество исков на промежутке [0, t ]. Величины выплат по i -му поступившему иску U i положительны и не зависят от N . Тогда процесс риска имеет вид

Ситуация, в которой момент поступления очередного иска заранее неизвестен, в большей степени отражает реальные явления в страховании, и с помощью этой модели можно добиться большей динамики при управлении риском компании. Поступление исков моделируется пуассоновским процессом N ( t ) с интенсивностью λ. Размеры выплат — независимые одинаково распределенные случайные величины, которые также не зависят от N ( t ) . Накопленные к моменту t премии являются линейной функцией времени в соответствии с равенством (14). Процесс риска в этом случае называется сложным пуассоновским процессом .