Реферат: Геометрия чисел

Постановка задачи.

Для начала я хочу рассмотреть некоторые понятия и результаты, играющие в дальнейшем основную роль. Рассуждения, которыми мы здесь пользуемся, иногда значительно отличаются от рассуждений в основных книгах по данному вопросу, так как в данной работе мы имеем целью, не давая полных доказательств, сделать для простейших случаев геометрическую ситуацию интуитивно ясной, тогда как позднее мы будем вынуждены жертвовать наглядностью ради точности. В работе рассматривается основная задача геометрии чисел, приводится теорема Минковского с её доказательством, и объясняются такие понятия геометрии чисел как решётки и критические решётки. В конце работы приводится так называемая «неоднородная задача» геометрии чисел.

Основная задача геометрии чисел.

Основной и типичной задачей геометрии чисел является сле­дующая задача.

Пусть f(х₁,…,x_n) — функция вещественных аргументов, прини­мающая вещественные значения. Как мал может быть f(u₁,…,u_n) при подходящем выборе целых чисел u₁,…,u_n? Может встретиться тривиальный случай f(0,…,0)=0, например, если f(х₁,…,x_n) является однородной формой; в этом случае совокупность значений u₁ = u₂ = ... = u_n = 0 из рассмотрения исключается (“однородная проблема”).

Обычно рассматриваются оценки, применимые не только для кон­кретных функций f, но и для целых классов функций. Так, типичным результатом такого рода является следующее предложение. Пусть

f(x₁,x₂) = a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x2 + a₂₂x₂² (1)

- положительно определённая квадратичная форма. Тогда найдутся такие целые числа u₁,u₂, не равные одновременно нулю, что справедливо неравенство

f(u₁,u₂)  (4D/3)^1/2 (2)

где D = a₁₁a₂₂ – a₁₂² – определитель формы. Ясно, что если этот результат верен, то он является наилучшим. Действительно,

u₁² + u₁u₂ + u₂²  1

для всех пар целых чисел u₁,u₂, не равных одновременно нулю; здесь D = 3/4.

Конечно, случай положительно определённых бинарных квадратичных форм крайне прост, и результат задачи был известен задолго до возникновения геометрии чисел. Однако на положительно определённых бинарных квадратичных формах относительно просто проводятся некоторые рассуждения геометрии чисел, так что эти формы удобно использовать в качестве иллюстрации всех рассуждений.

Только что сформулированный результат можно выразить на­глядно. Неравенство типа

f(x₁,x₂)  k,

где f(x₁,x₂) — форма (1), а k — некоторое положительное число, задает область  плоскости {x₁,x₂}, ограниченную эллипсом. Таким образом, наше предложение утверждает, что если k  (4D/3)^1/2, то область  содержит точку (u₁,u₂) с целыми координатами u₁ и u₂, не равными одновременно нулю.

Теорема Минковского.

Аналогичный, но, правда, не настолько точный результат немедленно следует из основной теоремы Минковского. В двумерном случае эта теорема утверждает, что область  всегда содержит точку (u₁,u₂) с целыми координатами, отличную от начала, если эта область удовлетворяет следующим трем условиям:

1. область  симметрична относительно начала координат; т. е. если точка (x₁,x₂) находится в , то точка (-x₁,-x₂) также содержится в ;

2. область  выпукла; т. е. если (x₁,x₂), (y₁,y₂) — две какие-нибудь точки области , то и весь отрезок

{x₁ + (1-)y₁, x₂ + (1-)y₂}, 0    1,

соединяющий эти точки, также содержится в ;

3) площадь  больше 4.

Любой эллипс f(x₁,x₂)  k удовлетворяет условиям 1) и 2). Так как его площадь равна

k / (a₁₁a₂₂ – a₁₂)^1/2 = k / D^1/2,

то он удовлетворяет условию 3), если k > 4D^1/2. Таким образом, мы имеем результат, аналогичный приведенному выше предложению, если в (2) константу (4/3)^1/2 заменить любым числом, большим 4/.

Доказательство теоремы Минковского.

Интересно будет кратко рассмотреть основные идеи, лежащие в основе доказательства теоремы Минковского, потому что в формальных доказательствах, приводимых основными источниками, они заслоняются необходимостью получения сильных теорем, имеющих наиболее широкие приложения.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--