(1, 0), (1/2, √3/4).

Она содержит вершины правильного шестиугольника

± (1, 0), ± (1/2, √3/4), ±(-1/2, √3/4),

лежащие на окружности Х₁² + Х₂² = 1, но не содержит ни одной точки (кроме (0, 0)) в круге Х₁² + Х₂² < 1. Таким образом, мы по­казали, что если Đ имеет критическую решетку, то Δ(Đ) = d(Λ ́) = (3/4)^1/2. Минковский показал, что критические решетки существуют для довольно широкого класса областей , показав, грубо говоря, что любую -допустимую решетку Λ можно постепенно деформи­ровать до тех пор, пока она не станет критической.

“Неоднородная задача”

Другим общим типом проблемы является следующая типичная «неоднородная задача». Пусть f(х₁,…,x_n) — некоторая вещественнозначная функция вещественных аргументов х₁, . . ., х_n. Требуется подобрать постоянное число k со следующим свойством: если ξ₁, ..., ξ_n — любые вещественные числа, то найдутся такие целые числа u₁,…,u_n, что

│f(ξ₁ – u₁,…, ξ_n – u_n)│≤ k.

Подобные вопросы естественно возникают, например, в теории алгебраических чисел. И на этот раз имеется простая геометрическая интерпретация. Для наглядности положим n = 2. Пусть  — мно­жество таких точек (х₁, х₂) двумерной евклидовой плоскости, что

│f(x₁, …, x_n)│≤ k.

Пусть u₁, u₂ — любые целые числа; обозначим через (u₁, u₂) об­ласть, полученную из  параллельным переносом на вектор (u₁, u₂); иными словами, (u₁, u₂) есть множество таких точек х₁, х₂, что

│f(х₁ – u₁, х₂ – u₂)│≤ k.

Неоднородная проблема состоит в выборе k таким образом, чтобы области (u₁, u₂) покрывали всю плоскость. Желательно выбрать k, а значит и , наименьшим из всех возможных (но так, чтобы свой­ство покрывать всю плоскость сохранилось). Здесь мы имеем про­тивоположность постановке однородной задачи, приведённой выше, где цель состояла в том, чтобы сделать области наибольшими, но все еще не пересекающимися одна с другой.

Содержание.

1. Введение. 2

2. Постановка задачи. 3

3. Основная задача геометрии чисел. 4

4. Теорема Минковского. 6

5. Доказательство теоремы Минковского. 7

6. Решётки. 10

7. Критические решётки. 13

8. «Неоднородная задача». 17

9. Список литературы. 18

Список литературы.

1. Касселс, Дж. В. С. Геометрия чисел – М., Мир, 1965г.

2. Минковский Г. Геометрия чисел – Лейпциг, 1911г. (переиздание 1996г.)

3. Марков А. А. О бинарных квадратичных формах положительного определителя – СПб., 1948г.