Реферат: Геометрия чисел

Для начала справедливо отметить, что если  и (u₁,u₂) пересекаются, то точка (u₁,u₂) находится в . Обратное утверждение тривиально. Если точка (u₁,u₂) находится в , то точка (u₁/2,u₂/2) содержится как в , так и в (u₁,u₂). Действительно, пусть (ξ₁, ξ₂) – точка, лежащая в пересечении. Так как точка (ξ₁, ξ₂) лежит в области (u₁,u₂), то тогда точка (ξ₁ – u₁, ξ₂ – u₂) лежит в области ; следовательно, ввиду симметрии области  точка (u₁ - ξ₁, u₂ - ξ₂) находится в . Наконец, в силу выпуклости тела  середина отрезка, соединяющего точку (u₁ - ξ₁, u₂ - ξ₂) с точкой (ξ₁, ξ₂), то есть точка (u₁/2,u₂/2), лежит в , а потому точка (u₁,u₂) находится в . Что, собственно, и требовалось доказать. Ясно, что область (u₁,u₂) тогда и только тогда пересекается с областью (u₁^’,u₂^’), когда область  пересекается с об­ластью (u₁ - u₁^’, u₂ - u₂^’).

Таким образом, чтобы теорема Минковского была доказана, достаточно показать, что если области (u₁,u₂) не пересекаются, то площадь области (u₁,u₂) не превышает 1. Небольшое размышление убеждает, что так должно быть. Другое обоснование, возможно интуитивно более ясное, можно получить, полагая, что область  целиком содержится в квадрате

‌ x₁‌ ≤ X, |x₂| ≤ X,

при этом нужно учитывать то, что выпуклая область конечной площади ограничена.

Пусть U — достаточно большое целое число. Существует (2U + 1)² областей (u₁,u₂), координаты центров которых удовлетворяют неравенствам

‌ u₁‌ ≤ U, |u₂| ≤ U.

Все эти области целиком находятся в квадрате

‌ x₁‌ ≤ U + X, |x₂| ≤ U + X,

площадь которого равна

4 (U + X)².

Так как предполагается, что области (u₁,u₂) не пересекаются, то имеет место неравенство

(2U + 1)²V  4(U + X)²,

где V – площадь области , а значит, и любой области (u₁,u₂). Устремляя теперь U к бесконечности, мы получаем неравенство V  1, что и требовалось доказать.

Решётки.

Преобразование координат в приведённом примере с определённой бинарной квадратичной формой может привести и к другой точке зрения. Мы можем представить форму f(x₁,x₂) как сумму квадратов двух линейных форм

f(x₁, x₂) = Х₁² + Х₂², (3)

где

Х₁ = x₁ + x₂, X₂ = x₁ + x₂, (4)

,,, - некоторые постоянные вещественные числа. Можно, например, положить

 = a₁₁^1/2,  = a₁₁^-1/2a₁₂,

 = 0,  = a₁₁^-1/2D^1/2.

Обратно, если ,,, - такие вещественные числа, что  -   0, и формы Х₁, Х₂ заданы равенствами (4), то выражение

Х₁² + Х₂² = a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x₂ + a₂₂x₂²,

где

a₁₁ = ² + ²,

a₁₂ =  + , (5)

a₂₂ = ² + ²,

является положительно определен­ной квадратичной формой с определителем

D = a₁₁a₂₂ – a₁₂² = ( - )². (6)

Теперь будем рассматривать пару (Х₁, Х₂) как систему пря­моугольных декартовых координат. Тогда говорят, что точки (Х₁, Х₂), соответствующие целым (x₁, x₂) в выражениях (4), образуют (двумерную) решетку . В векторных обозначениях решетка  есть совокупность точек

(Х₁, Х₂) = u₁(,) + u₂(,), (7)