Реферат: Группы симметрий квадрата и куба

Например, (e2, e1, e3) - симметрия относительно плоскости BB1D1D (рис. 7) (одна перестановка: e1 и e2).

В соответствии с числом перестановок будем называть символы (e1, e2, e3), (e3, e1, e2), (e2, e3, e1) четными, а символы (e1, e3, e2), (e3, e2, e1), (e2, e1, e3) - нечетными.

Но в каждом символе могут присутствовать знаки минус (-) (один, два или три). Например:

(e1, e2, e3) - тождественное преобразование e,

(-e1, -e2, -e3) - центральная симметрия относительно центра,

(-e1, e2, e3), (e1, -e2, e3), (e1, e2, -e3) - плоскостные симметрии относительно плоскостей a, b, c (рис. 8),

(-e1, -e2, e3), (-e1, e2, -e3), (e1, -e2, -e3) - осевые симметрии относительно осей, параллельных соответственно векторам e3, e2, e1.

Итак, для трех векторов существует 6 перестановок и в каждой перестановке можно 8-ью способами расставить знаки (+), (-). Таким образом, вся группа движений куба содержит 6х8 = 48 элементов.

Умножение символов из трех векторов будем производить так же, как и умножение символов из двух векторов. Для вычисления коммутаторов потребуются обратные преобразования, поэтому отметим следующее. Так как преобразования куба, обозначенные символами (ε1e1, ε2e2, ε3e3) (εi= 1, i=1,2,3), а также нечетными символами (e1, e3, e2), (e3, e2, e1), (e2, e1, e3) есть симметрии, то каждое из них совпадает со своим обратным преобразованием:

(ε1e1, ε2e2, ε3e3)-1 = (ε1e1, ε2e2, ε3e3),

(e1, e3, e2)-1 = (e1, e3, e2), (e3, e2, e1)-1 = (e3, e2, e1), (e2, e1, e3)-1 = (e2, e1, e3).

Для поворота вокруг оси в данном направлении обратным является поворот вокруг той же оси в противоположном направлении на такой же угол, поэтому (e3, e1, e2)-1 = (e2, e3, e1) и наоборот (e2, e3, e1)-1 = (e3, e1, e2).

Упражнение. Проверьте справедливость следующих равенств:

(e3, e1,e2) (e2, e3, e1) = (e1, e2, e3).

(e3, e1, e2) (e2, e1, e3) = (e3, e2, e1).

(-e3, -e2, e1) (-e2, e1, -e3) = (e3, -e1, -e2).

(-e1, -e2, -e3) (-e1, -e3, e2) = (e1, e3, -e2).

(-e2, -e1, e3) (-e3, -e2, e1) = (e2, e3, e1).

Из рассмотренных упражнений следует, что умножение двух четных символов дает четный символ (упр. 1), умножение двух нечетных символов - четный символ (упр. 3, 5), умножение четного и нечетного - нечетный символ (упр. 2, 4). Из упражнений 3, 4, 5 ясно, что по-прежнему, как и при умножении символов из двух векторов, четность числа минусов в произведении совпадает с четностью числа суммы минусов сомножителей.

Выясним теперь, разрешима ли группа симметрий куба (G3)?

Коммутатор [ab] есть результат умножения четырех сомножителей aba-1b-1. Поэтому в силу предыдущих замечаний и следствий, вытекающих из упражнений, любой коммутатор группы симметрий куба задается четным символом (таких три), имеющим четное число минусов (либо два, либо ни одного). Вычисление показывает, что коммутант группы симметрий куба состоит из следующих преобразований:

(e1, e2, e3), (e3, e1, e2), (e2, e3, e1),

(e1, -e2, -e3), (e3, -e1, -e2), (e2, -e3, -e1),

(-e1, e2, -e3), (-e3, e1, -e2), (-e2, e3, -e1),

(-e1, -e2, e3), (-e3, -e1, e2), (-e2, -e3, e1).

Табл. 2

Найдем коммутант от полученного коммутанта ().

Элементы первой строки табл. 2 образуют коммутативную группу поворотов вокруг оси DB1, поэтому все коммутаторы группы без учета знаков сводятся к единице (e1, e2, e3). С учетом же знаков коммутаторами будут преобразования первого столбца табл.2 (число минусов коммутатора может быть по-прежнему только четно):

(e1, e2, e3), (e1, -e2, -e3), (-e1, e2, -e3), (-e1, -e2, e3).