Реферат: Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними

1. ДР що містять n-ту похідну від шуканої функції і незалежну змінну.

а) Розглянемо ДР (4.38)

Так як , то

Аналогічно , …..,

(4.39)

Остання формула дає розвязок загальний в області

Формулу (4.39) легко використати для знаходження розвязків задачі Коші з начальними умовами

(4.40)

Цей розвязок представляється в вігляді (4.41)

Ф-я

являється частиним розвязком ДР (4.38) з початковими умовами

яким відповідають константи

Для обчислення використовують ф-лу Коші

(4.42)

Дійсно інтеграл

можна розглядати як повторний інтеграл в заштрихованій області (мал. 1).

Міняючи порядок інтегрування, отримаємо

Аналогічно обчислюємо

.. і. т. д.

Приходимо до ф-ли (4.42)

Таким чином розвязок (4.41) записується у вигляді

Загальний розвязок ДР (4.38) можна також записати через невизначений інтеграл

Пр. 4.4 Розвязати рівняння

Послідовно знаходимо ,

б) Розглянемо випадок (4.43)

в якому співвіднощення (4.43) не можна розвязати відносно в елементарних ф-ях, або вирази для будуть досить складними.

Припустимо, що ДР (4.43) допускає параметризацію (4.44)

(4.44),

де та такі, що

Проводимо обчислення ,

Аналогічно обчислюємо

Остаточно маємо

(4.45) -загальний зорвязок в параметричній формі.

Відмітимо два випадки, в яких ДР (4.43) легко параметрмзується

I.(4.46)(частинні випадки )

II. (4.47), де і -однорідні ф-ї відповідного

виміру і .

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--