Реферат: Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними

і розвяжемо р-ня (4.47) відносно через :

Піставляючи в (4.48), отримаємо (4.49)

Дальше вищеотриманим способом знаходимо загальний розвязок в параметричній формі.

Пр. 4.5 Розвязати р-ня

Зробимо заміну

остаточно маємо

2. Інтегрування ДР, які не містять шуканої ф-ї та похідної.

Розглянемо ДР (4.50), в якому є .

Введемо нову змінну (4.51)

отримаємо (4.52)

тобто ми понизили порядок ДР (4.50) на одиниць.

Припустимо, що ми розвязали ДР (4.52) і визначили (4.53)

Тоді р-ня (4.54)

інтегруємо і отримаємо загальний розвязок (4.55)

Якщо замість загального розвязку (4.53) можна знайти загальний інтеграл (4.54)

то отримаємо ДР типу (4.43)

Розглянемо два частичних випадка відносно ДР (4.50) :

а) ДР вигляду

якщо ДР (4.51) можна розвязати відносно :

(4.52)

то поклавши перейдемо до р-ня

Якщо - загальний розвязок останнього р-ня, то остотаточно маємо р-ня вигляду (4.38)

Припустимо, що ДР (4.51) не можна записати в вигляді (4.52), але воно допускає параметризацію (4.53)

то з співвідношення знаходимо

Звідки (4.54)

ДР (4.54) вигляду (4.44) і розвязки можна отримати в параметричній формі.

б) ДР вигляду (4.55)

Нехай ДР (4.55) можно розвязати відносно

(4.56)

Позначимо і перейдемо до ДР (4.57)

Домножимо (4.57) на :

Звідки . Отже

з якого визначимо

.