Реферат: Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне
Нахождение М4 можно провести аналогично нахождению М2 в предыдущем пункте, но выражение для fIV (t) имеет довольно громоздкий вид. Поэтому правило Рунге – наиболее простой способ.
Обозначим через In и I2n значение интеграла I, полученное при разбиении промежутка интегрирования соответственно на n и 2n интервалов. Если выполнено равенство: |I2n -In | = 15d (*1), то |I-I2n |=d
 |
????? , ??????? ? n=2, ????????? n ?? ??? ???, ???? ?? ?????? ??????????? ??????????? (*1), ?????:
(3.6)
 |
???????? ??????? ??????? (3.7):
Результаты вычислений сведём в таблицу:
| n | In | I2n |
| 4 | 102.11 | |
| 8 | 101.61 | 0.5017 |
По формуле (3.7) I = 101,61 что в пределах погрешности совпадает со значением, полученным по методу трапеций
| n=8 | n=4 | ||
| ti (8) | y8 | ti (4) | y4 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 27.25 | 0.9864 | ||
| 54.5 | 0.8959 | 54.5 | 0.8959 |
| 81.75 | 0.6901 | ||
| 109 | 0.4151 | 109 | 0.4151 |
| 136.25 | 0.1796 | ||
| 163.5 | 0.0514 | 163.5 | 0.0514 |
| 190.75 | 0.0089874 | ||
| 218 | 0.00088179 | 218 | 0.00088179 |
4. Вычисление времени Т0 установления режима
4.1 Решение уравнения комбинированным методом
Время установления режима определяется по формулам (1.6) и (1.7).
Проведём сначала отделение корней. Имеем y = ctg(x) и y = Ax. Приведём уравнение к виду: A x sin(x)-cos(x) = 0. Проведём процесс отделения корня.
| F(x) | -1 | -0.6285 | 0.4843 |
| x | 0.01 | 0.05 | 0.1 |
т.е. x с [0.01;0.05]
Убедимся, что корень действительно существует и является единственным на выбранном интервале изоляции.
f(a) f(b)<0 – условие существования корня выполняется
f’(x) на [a;b] – знакопостоянна: f’(x)>0 – условие единственности также выполняется. Проведём уточнение с погрешностью не превышающей e=10-4
Строим касательные с того конца, где f(x) f”(x)>0
 |
f?(x)=(2A+1)cos(x) ? A x sin(x). f?(x)>0 ?? (a;b), ????????????? ??????????? ?????? ??????, ? ????? ?????. ??????????? ????? ?? ?????? ???????????:
 |
?? ?????? ????:
 |
?????????? ????? ?? ???? ???????, ???? ?? ?????????? ???????:
Результаты вычислений заносим в таблицу:
| n | an | bn | f(an ) | f(bn ) |
| 0 | 0.05 | 0.1 | -0.6285 | 0.4843 |
| 1 | 0.07824 | 0.08366 | -0.0908 | 0.0394 |
| 2 | 0.08202 | 0.08207 | -9.1515 10-4 | 3.7121 10-4 |
| 3 | 0.08206 | 0.08206 | -8.4666 10-8 | 3.4321 10-8 |
Т0 = 72,7176 секунд.
4.2 Решение уравнения комбинированным методом
Приведём f(x) = 0 к виду x = j(x). Для этого умножим обе части на произвольное число m, неравное нулю, и добавим к обеим частям х:
X = x - m f(x)
 |
j(x) = x - m A x sin(x) + m cos(x)
В качестве m возьмём:
где М = max [f’(x)] на [a;b], а m = min [f’(x)] на [a’b]
В силу монотонности f’(x) на [a;b] имеем m = f’(а), М = f’(b). Тогда m = 0,045.
 |  |
??????????? ? ????? ???? ?? ????????? ?????:
 |
 |
?????????? ????? ?? ??? ???, ???? ?? ?????????? ???????:
(q = max |j’(x)| на [a’b])
j’(x) на [a’b] монотонно убывает, поэтому максимум его модуля достигается на одном из концов.
j’(0,05) = 0,3322 j’(0,1) = -0,3322, следовательно, q = 0.3322 < 1. В этом случае выполняется условие сходимости и получается последовательность:
| i | xi | j( xi ) | D xi |
| 0 | 0.075 | 0.082392 | 0.00739 |
| 1 | 0.082392 | 0.082025 | 0.000367 |
| 2 | 0.082025 | 0.08206 | 3.54 10-5 |
| 3 | 0.08206 | 0.082057 | 3.33 10-6 |
| 4 | 0.082057 | 0.082057 | 3.15 10-7 |
Итак, с погрешностью, меньшей 10-4 , имеем:
Т0 = 72,7176 с. , x = 0.03142
5. Решение краевой задачи
 |
?????????? ????? ?????? ?????????. ??????? ?????? ??????? ? ????:
(5.1)
 |
 |
????? ????? ?????????? y = (U - q0 )/(q - q0 ), ??????? (5.1) ? ????:
(5.2)
 |
e = sl (q - q0 ) =0.18, L/2 =0.0193. ? ???????? ?????? ????????? ??????? e.
 |  |
?????, ????????? y(x) ? ????????? (5.2) ? ??????????????? ????? ??? ?????????? ???????? e, ???????:
(5.3)
 |
??????????? ????? ??????? ??????? ????:
 |
?? (5.2) ? (5.3) ??????? ????? ??????? ????????? ??? y0 :
где y0 с тильдой – частное решение данного неоднородного уравнения; y(1) и y(2) – линейно независимые решения однородного уравнения.
 |  |
????? ?????????:
y0 общ = 1 + c1 ch(px)+c2 sh(px), где p = 0.01953
 |
????????? ?????? ?? ????????? ???????:
откуда с1 = 0, с2 = -0,57; т.е. имеем функцию:
y0 = 1 - 0.57 sh(px)
 |
????? ???????:
 |
??????? ???????:
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получим:
А1 = 0; А2 = -0,1083; В1 = 0; В2 = 17,1569;
Тогда общее решение для y1 имеет вид:
 |
?3 = 0; ?4 = 0,0462
Перейдя к старой переменной U, получим:
 |
q0 = 0; q1 = -374.11; q2 = -12.9863; q3 = 2057
 |  |
???????? ?????????:
Пользуясь этой формулой, составим таблицу значений функции U(x):
| x | U(x) | U |
| 0 | 352.9075 | 353 |
| 0.0019 | 350.4901 | |
| 0.0039 | 343.1972 | 343 |
| 0.0058 | 330.9053 | |
| 0.0077 | 313.4042 | 313 |
| 0.0097 | 290.391 | |
| 0.0116 | 261.4598 | 261 |
| 0.0135 | 226.0893 | |
| 0.0154 | 1836255 | 184 |
| 0.0174 | 133.2579 | |
| 0.0193 | 74 | 74 |