Реферат: Классификация систем массового обслуживания и их основные элементы

В противном случае число поступающих требований будет больше суммар­ной производительности всех обслуживающих устройств, и очередь будет неограниченно расти.

Для СМО с отказами и смешанного типа это условие может быть ос­лаблено, для эффективной работы этих типов СМО достаточно потребо­вать, чтобы минимальное количество обслуживаемых устройств n было не меньше коэффициента загрузки :

Раздел ІІ. Обслуживание с ожиданием

1. Постановка задачи.

СМО с ожиданием распространены наиболее широко. Их можно разбить на 2 большие группы - разомкнутые и замкнутые . Эти системы определяют так же, как системы с ограниченным входящим потоком.

К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований ограничен. Например, мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на подналадку.

В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.

Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми . Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.

Мы рассмотрим здесь классическую задачу теории массового обслуживания в тех условиях, в каких она была рассмотрена и решена К.Эрлангом. на n одинаковых приборов поступает простейший поток требований интенсивности . Если в момент поступления имеется хотя бы один свободный прибор, оно немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то вновь прибывшее требование становится в очередь за всеми теми требованиями, которые поступили раньше и ещё не начали обслуживаться. Освободившийся прибор немедленно приступает к обслуживанию очередного требования, если только имеется очередь. Каждое требование обслуживается только одним прибором, и каждый прибор обслуживает в каждый момент времени не более одного требования. Длительность обслуживания представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x). Предполагается, что при x0.

где - постоянная.

Только что описанная задача представляет значительный прикладной интерес, и результаты, с которыми мы познакомимся, широко используются для практических целей. Реальных ситуаций, в которых возникают подобные вопросы, исключительно много. Эрлангрешил эту зад ачу, имея в виду постановки вопросов, возникших к тому времени в телефонном деле.

Выбор расп ред елени я (1) для опи сан ия дли тельности обслу­жи вания произведен н е случайно. Дело в том, что в этом предполо жении задача доп уска ет простоерешение , которое с удовлетворитель ной дляпрактики точностью оп исывае т ход интересующего нас процесса. Распределение (1 ) и г­рает в теори и массового обслуживания исключи тельн ую роль , которая в зн ачи тель ной ме ре вызвана следующи м его свой ством:

При показа тел ьном ра спределе нии длительности обслужива­ни я распреде лен ие длитель ности оставшейс я части работы по обслу живанию не зависит от того, сколько он о уже продолжалось.

Действи тельн о, пусть означает вероятн ость того, что обслуживание, которое ужо продолжается вре мя а, продлится еще не мен ее чем . В предположении, что длительность обслуживания распределена показательно, . Далее ясн о, ч то и . А так как всегда и , и, следовательно,

Требуемое доказано.

Несомненно, что в ре альной обстановке показательн ое время обслужи вани я являе тся, ка к прави ло, лишь грубым приближ ением к де йстви тельности . Так, нередко время обслу живания не мо ж ет быть меньше, че м нек оторая определен ная величи на. Пре д­положе ни е же (1) при водит к тому, что зн ачи тельная доля тре­бован ии н уж дае тся лишь в кратковременн ой операции, бли зкой к 0. Позднее перед нами возникает задача освобож дения от излишнего ограничения, н акладываемого предположением (1). Необходимость этого была ясн а уж е самому Эрлангу, и он в ряде работ де лал усилиянайти иные удачные распределе ния для дли­тельности обслуживани я. В частн ости, им было предлож ено так н азываемое ра спределени е Эрланга , плотность расп ределения ко­торого дается формулой

где > 0, a k — целое положительное число.

Распределение Эрла нга представляе т собой распределение суммы k - не зависи мых сла гае мых, каждое из которых и меет рас­пределение (1).

Обозначим для случая распределения (1) через время обслуживания требования. Тогда средняя длительность обслуживания равна

Это равенство даст нам c посоá оценки п араметрап о оп ытным дан ным. Как ле гко вычислить, ди сп ерсия длительности обслуживания равна

2. Процесс обслуж ивания как марковск ий случайны й процесс.

В указанных нами предп олож ениях о потоке требований и о дли те льности обслужи вания задачи теори и массового обслуживания приобретают некоторы е черты, облегчающи е проведени е исследовани й. Мы отмечали уже вычислительн ую простоту. Те­перь отметим более принципи альное соображе ни е, которое ста­нем развивать применительно к и зучаемой задаче.

В каждый момент рассматривае мая систе ма может находи ть­ся в одном и з следующих состоян ии : в моментt в системе на­ходятсяk требован ии (k= 0, 1, 2, ...). Еслиkrn, то в систе­ме на ход ятся и обслуживаются kтребований , а m-k -приборов свободны. Если km, то m требований обслуживаются, а k-m находятся в оче ред и и ожидаю т обслуживания. Обозначим че рез состояние, ког да в си сте ме находятсяk треб овани й. Таким образом, система может находиться в состояниях .. . Обозначи м через — вероятность того, что система в мо­мент t окажется в состояни и .

Сформули руем, в чем заключае тся особенность и зучаемых нами задач в сделанн ых предположениях. Пусть в некоторый момент наша си стема находилась и состоянии . Докажем, что последующее тече ние процесса обслуживани я не зави сит в смысле теории вероятностей от того, ч то прои сходило до момен­та. Действительно, дальнейшее тече ни е обслужи вани я пол­ностью определяется тремя следующими факторами :

моментами окон чани я обслуживаний, производящи хся в мо­мент ;

моментами поя вления н овых требований;

длительностью обслуживания требован ий, поступивши х после .

В силу особенносте й показательн ого распределения дли тель­ность остающейся части обслуживания не зави сит от того, как долго уже продолжалось обслуживан ие до момента. Так как п оток требо ваний простейший, то п рошлое не влия ет на то, как много требований появится после моме нта . Наконец длитель ность обслуживания требований, появившихся после , никак не зависит от того, что и как обслуживалось до момента .

Известно, что случайные процессы, для которых будущее развитие зависит только от достигнутого в данный момент состояния и не зависит от того, как происходило развитие в прошлом, называются процессами Маркова или же процессами без последействия . Итак, система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет собой случайный процесс Маркова. Это обстоятельство об­легчает дальнейшие рассуждении.

3. Составление уравнений.

Задача теперь состоит в том, чтобы найти те уравнения, которым удовлетворяют вероятности . Одно из уравнения очевидно, a именно для каждогоt

(2)

Найдём сначала вероятность того, что и момент t.+h в се приборы свободны. Этоможет произойти следующими способами: