Реферат: Компактные операторы
3) ;
4) ;
([1], стр. 120).
Примеры линейных пространств
1. Пространство действительных чисел является линейным пространством по операциям сложения и умножения.
2. – пространство, элементами которого являются последовательности чисел
, удовлетворяющих условию
с операциями
,
([1], стр. 121).
1.2 Нормированные пространства
Определение: Множество называется нормированным пространством, если:
1) – линейное пространство над полем действительных или комплексных чисел.
2) Для каждого элемента определено вещественное число, называемое его нормой и обозначаемое
, и выполнены условия:
а) для любого
;
б) для любого
и любого
;
в) , для любых
([1], стр. 138).
Примеры нормированных пространств:
1. Пространство становится нормированным, если положить
.
2. Пространство с элементами
нормировано, при условии
.
3. Пространство функций, непрерывных на отрезке
, нормировано, если взять
.
([1], стр. 139).
1.3 Банаховы пространства
Определение: Расстоянием (метрикой) между двумя элементами и
называется вещественное неотрицательное число, обозначаемое
и подчиненное трем аксиомам:
1) ;
2) ;
3) ;
Определение: Последовательность точек метрического пространства
называется фундаментальной, если
при
.
Справедливы утверждения:
1. Если последовательность сходится к некоторому пределу, то она фундаментальна.
Доказательство: