Реферат: Компактные операторы
2. Всякая фундаментальная последовательность ограничена.
Определим расстояние в нормированном пространстве , полагая для любых
. Тогда
означает, что
. Это сходимость по норме.
Фундаментальная последовательность в нормированном пространстве в соответствии с определением расстояния характеризуется условием
, при
Определение: Нормированное пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его элементов имеет предел.
Определение: Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.
([2], стр. 137)
1.4 Компактные множества
Определение: Множество в метрическом пространстве
называется компактным, если из всякой бесконечной последовательности
можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу
.
Определение: Множество , лежащее в некотором метрическом пространстве
, называется предкомпактным, или относительно компактным (компактным относительно
), если его замыкание в
компактно.
Определение: Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре с центром в точке
, то есть существует такая постоянная
, такая, что для любого
выполняется неравенство
В курсе теории метрических пространств доказывалось, что любое компактное множество является ограниченным. Докажем, что любое относительно компактное множество также является ограниченным.
Теорема: Множество , лежащее в некотором метрическом пространстве
, и относительно компактное, является ограниченным.
Доказательство. Замыкание множества М является компактным, следовательно, ограниченным. Но , а подмножество ограниченного множества также ограничено.
В конечномерном пространстве выполняется также обратное утверждение.
Теорема: В конечномерном пространстве всякое ограниченное подмножество относительно компактно.
Эта теорема следует из теоремы Больцано-Вейерштрасса для пространства : в этом пространстве всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.
Можно доказать также более общую теорему.
Теорема: В конечномерном нормированном пространстве всякое ограниченное подмножество относительно компактно.
Доказательство:
Пусть – ограниченное подмножество n–мерного пространства
, т. е. существует такая константа
, что
для всех
. Каждому
сопоставляем вектор
, координаты которого
равны соответствующим координатам в разложении элемента
по некоторому фиксированному базису. Тогда справедливо следующее неравенство:
(1), где
– наименьшее значение
на единичном шаре
,
. Возьмем любую последовательность
. По неравенству (1) соответствующие этим элементам векторы
образуют ограниченное множество, а в
ограниченные множества относительно компактны, следовательно, из последовательности
, можно выделить частичную
, сходящуюся к некоторому пределу.
Сходимость в есть сходимость по координатам, следовательно, и последовательность
сходится по координатам. Но тогда эта последовательность сходится к некоторому пределу и по норме (в силу непрерывности суммы и произведения в нормированных пространствах). Тем самым относительная компактность
доказана.
Определение: Семейство функций называется равностепенно непрерывным, если для любого
найдется такое
, что
, для любой функции
, для любых
, таких, что
.
Определение: Семейство функций
, определенных на некотором отрезке, называется равномерно ограниченным, если существует такое число
, что
, для любого
Теорема Арцела: Для того чтобы семейство непрерывных функций, определенных на отрезке
, было предкомпактно в
, необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
Теорема: Образом компактного множества при непрерывном отображении является компактное множество.
Докажем аналогичную теорему для относительно компактных множеств.
Теорема: Образом относительно компактного множества при непрерывном отображении является относительно компактное множество.
Доказательство. Пусть – непрерывное отображение,
– относительно компактное множество. Рассмотрим последовательность точек из множества
:
,
. Так как множество
относительно компактно, то существует подпоследовательность
. Так как отображение
– непрерывное, то
. Значит, для множества
выполнено условие относительной компактности.