Реферат: Краевые задачи и разностные схемы
.
Многоточечные представления производных получаются путем применения существующих соотношений между операторами дифференцирования, конечных разностей и сдвига:
Чтобы выразить значение производной порядка k в m -той точке целочисленного интервала [0, n ] через ординаты функции 
необходимо выполнить следующие операторные преобразования:
Заменив конечно-разностные операторы 
(после приравнивания нулю разностей со степенями выше n ) выражениями с оператором сдвига 
и вспомнив, что 
, получим в результате для k -той производной в m- той точке взвешенную сумму из ординат искомой функции:
.
Погрешность аппроксимации дифференциального оператора конечно-разностным оператором для центральной точки (m=n/ 2) пропорциональна с наименьшим коэффициентом величине 
и c наибольшим – для точек конца интервала.
Часто применяемые выражения конечно-разностной аппроксимации производных первого и второго порядков по трем-семи равномерно расположенным точкам приведены ниже в таблицах в виде коэффициентов, стоящих перед соответствующими ординатами функции. В левом верхнем углу таблиц записан общий множитель, а в крайней правой колонке – коэффициенты k 1, k 2для формул погрешности.
Трех точечная аппроксимация первой производной
 |
y(0) |
y(1) |
y(2) |  |
| y’(0) | -3 | 4 | -1 | 2 |
| y’(1) | -1 | 0 | 1 | -1 |
| y’(2) | 1 | -4 | 3 | 2 |
Четырех точечная аппроксимация первой производной
 |  |  |  |  |  |
 | -11 | 18 | -9 | 2 | -3 |
 | -2 | -3 | 6 | -1 | 1 |
 | 1 | -6 | 3 | 2 | -1 |
 | -2 | 9 | -18 | 11 | 3 |
Пятиточечная аппроксимация первой производной
 | | | | |  |  |
| -25 | 48 | -36 | 16 | -3 | 12 |
| -3 | -10 | 18 | -6 | 1 | -3 |
| 1 | -8 | 0 | 8 | -1 | 2 |
| -1 | 6 | -18 | 10 | 3 | -3 |
 | 3 | -16 | 36 | -48 | 25 | 12 |
Шести точечная аппроксимация первой производной
 | | | | | |  |  |
| -137 | 300 | -300 | 200 | -75 | 12 | -10 |
| -12 | -65 | 120 | -60 | 20 | -3 | 2 |
| 3 | -30 | -20 | 60 | -15 | 2 | -1 |
| -2 | 15 | -60 | 20 | 30 | -3 | 1 |
| 3 | -20 | 60 | -120 | 65 | 12 | -2 |
 | -12 | 75 | -200 | 300 | -300 | 137 | 10 |
Семи точечная аппроксимация первой производной
 | | | | | | |  |   |
| -147 | 360 | -450 | 400 | -225 | 72 | -10 | 60 |
| -10 | -77 | 150 | -100 | 50 | -15 | 2 | -10 |
| 2 | -24 | -35 | 80 | -30 | 8 | -1 | 4 |
| -1 | 9 | -45 | 0 | 45 | -9 | 1 | -3 |
| 1 | -8 | 30 | -80 | 35 | 24 | -2 | 4 |
| -2 | 15 | -50 | 100 | -150 | 77 | 10 | -10 |
 | 10 | -72 | 225 | -400 | 450 | -360 | 147 | 60 |
Трех точечная аппроксимация второй производной
 | | | |  |
 | 1 | -2 | 1 | -12 , 2 |
 | 1 | -2 | 1 | 0 , -1 |
 | 1 | -2 | 1 | 12 , -2 |
Четырех точечная аппроксимация второй производной
 | | | | |  |
| 2 | -5 | 4 | -1 | 55 , -6 |
| 1 | -2 | 1 | 0 | -5 , -2 |
| 0 | 1 | -2 | 1 | -5 , -2 |
 | -1 | 4 | -5 | 2 | 55 , -6 |
Пятиточечная аппроксимация второй производной
 | | | | | |  |
| 35 | -104 | 114 | -56 | 11 | -150 , 12 |
| 11 | -20 | 6 | 4 | -1 | 15 , -3 |
| -1 | 16 | -30 | 16 | -1 | 0 , 2 |
| -1 | 4 | 6 | -20 | 11 | 15 , 3 |
 | 11 | -56 | 114 | -104 | 35 | 150 , -12 |
Шести точечная аппроксимация второй производной
 | | | | | | |
| 225 | -770 | 1070 | -780 | 305 | -50 |
| 50 | -75 | -20 | 70 | -30 | 5 |
| -5 | 80 | -150 | 80 | -5 | 0 |
| 0 | -5 | 80 | -150 | 80 | -5 |
| 5 | -30 | 70 | -20 | -75 | 50 |
 | -50 | 305 | -780 | 1070 | -770 | 225 |
Семи точечная аппроксимация второй производной
 | | | | | | | |
| 812 | -3132 | 5265 | -5080 | 2970 | -972 | 137 |
| 137 | -147 | -255 | 470 | -285 | 93 | -13 |
| -13 | 228 | -420 | 200 | 15 | -12 | 2 |
| 2 | -27 | 270 | -490 | 270 | -27 | 2 |
| 2 | -12 | 15 | 200 | -420 | 228 | -13 |
| -13 | 93 | -285 | 470 | -255 | -147 | 137 |
 | 137 | -972 | 2970 | -5080 | 5265 | -3132 | 812 |
Например, производная первого порядка 
в точках m =0, 3, 5 для семи точечной аппроксимации будет иметь вид:
,
.
Аналогично выписываются выражения и для вторых производных в точках 0 и 2:
