Реферат: Краевые задачи и разностные схемы

Реферат з курсу “ Введение в численные методы ”

Тема: “КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ”

Содержание

1. Приведение к системе уравнений первого порядка

2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений

3. Разностные системы уравнений для краевых задач

4. Краевые задачи второго порядка

5. Разностные схемы для уравнений в частных производных

6. Повышение точности разностных схем

7. Сеточные методы для нестационарных задач

Литература

1. Приведение к системе уравнений первого порядка

Для решения систем дифференциальных уравнений высокого порядка методами конечных разностей в первую очередь возникает потребность преобразования исходной системы в систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим образом преобразованными начальными или граничными условиями. И уже далее реализовывать численную процедуру решения.

Преобразование в систему уравнений первого порядка не единственно. Наиболее популярные из них в большинстве своем касаются линейных систем с постоянными или переменными коэффициентами. Основная идея всех методов состоит во введении новых переменных и выполнении замены высших производных этими переменными.

Пусть неоднородное дифференциальное уравнение высокого порядка задано в виде:

где – соответственно i- тая производная искомого решения и ее значение в начальный момент,

– функция, описывающая внешнее воздействие на динамический объект.

Обозначим первую производную искомой функции новой переменной , первую производную – следующей переменной: , первую производную – переменной и т.д.. Таким образом из исходной системы мы сформируем дифференциальное уравнение первого порядка:

При таких заменах производных искомой функции ее n -ная производная оказывается равной первой производной от :

В результате, эквивалентная система дифференциальных уравнений первого порядка примет следующий вид:

В случае, когда правая часть представлена взвешенной суммой функции и ее производных и в целом дифференциальное уравнение имеет вид

то его преобразование в систему уравнений первого порядка с новыми переменными осуществляется по следующим формулам:

Такое преобразование сохраняет коэффициенты исходного уравнения неизменными и исключает производные в правой части от . Начальные условия для новых переменных здесь приходится пересчитывать по достаточно сложным соотношениям.

И, наконец, приведем еще один вариант разложения на систему уравнений первого порядка исходного неоднородного уравнения с производными в правой части:

Замена переменных в отличие от предыдущего случая производится без сохранения коэффициентов исходного уравнения:

Производные искомой функции можно выразить через вновь введенные переменные путем многократного дифференцирования левой и правой части соотношения для y с подстановкой после каждого дифференцирования производных :

Умножив каждое выражение для на коэффициенты и просуммировав правые и левые члены равенств, получим уравнение, которое отличается от исходного лишь коэффициентами при производных в правых частях. Чтобы добиться тождественности, необходимо коэффициенты при соответствующих производных приравнять и разрешить полученную систему уравнений относительно неизвестных .

Система уравнений имеет вид:

В векторно-матричной форме это уравнение и его решение записываются в следующем виде:

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--