Реферат: Кривые третьего и четвертого порядка

Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова

Кафедра высшей математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

«Кривые третьего и четвертого порядка»

Выполнили: студенты

группы С-12-00

Пинаев И.Н.

Искаков Р.Р.

Проверила:

доцент кафедры высшей математики

к.ф.-м.наук Самарина С.М.

Чебоксары, 2002

Декартов лист

1. Особенности формы. Декартовым листом называется кривая 3-го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид

(1)

Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениями декартова листа, которые можно получить, полагая y = tx , присоединяя к этому равенству равенство (1) и решая полученную систему относи­тельно х и у, в результате будем иметь:

(2)

откуда следует, что декартов лист является рациональной кривой.

Заметим еще, что полярное уравнение декартова листа имеет вид

(3)

Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симмет­рично, откуда следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы у=х. Обычное исследование на особые точки при­водит к заключению, что начало координат является узловой точкой декартова листа. Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей с началом координат, можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членов низшей степени из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем З аху = 0, откуда получим х = 0 и у = 0 – искомые уравнения касательных в узловой точке. Эти касательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале координат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что в первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой у = х в точке

Точки этой петли, в которых касательные парал­лельны координатным осям, имеют координаты

и (cм. рис. 1)

Для окончательного заключения о форме кривой следует еще найти асимптоту Заменяя в уравнении кривой у на приравняем нулю в полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями х. Получим

и b = - а. Таким образом, де­картов лист имеет асимптоту

у = — х — а; следовательно, во 2-м и 4-м координатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность.

Рис. 1

2. Свойства. Согласно теоре­ме Маклорена, если в трех точках алгебраи­ческой кривой 3-го порядка, ле­жащих на одной прямой, про­вести касательные к этой кривой, то точки их пересечения с кривой будут лежать также на прямой линии. Применительно к декартову листу эта теорема доказывается просто. Выведем с этой целью предварительно условие пребывания трех точек декартова листа, соответствующих значениям t ₁ , t ₂ и t ₃ параметра, на одной прямой. Если уравнение прямой имеет вид y = kx + b , то значения параметра, соответствующие точкам пере­сечения этой прямой с кривой, должны удовлетворять системе

Система эта приводит к уравнению

корни которого и будут искомыми значениями t ₁ , t ₂ и t ₃ параметра, откуда следует, что

(4)

Это равенство и является условием пребывания трех точек M₁ ( t ₁ ), M₂ ( t ₂ ), М₃ (t₃ ) декартова листа на одной прямой.

Располагая этим условием, покажем справедливость теоремы Маклорена для декартово листа. Действительно, касательную в точке M₁ ( t₁ ) можно рассматривать как прямую, которая пересекает декар­тов лист в двух совпадающих между собой точках, для которых t₂ = t₁ , и в третьей точке, для которой соответствующее значение параметра обозначим через T₁ . Условие (4) примет вид t₁ ² T₁ = - 1. Для касательных в точках М₂ и M₃ получим аналогичные соотношения t₂ ² T₂ = -1 и t₃ ² T₃ = -1 . Перемножая эти три равен­ства, будем иметь

(t₁ t₂ t₃ )² T₁ T₂ T₃ = -1 . откуда на основании (4) заключаем, что и T₁ T₂ T₃ = -1, т. е. точки N₁ ( T₁ ), N₂ (T₂ ) и N₃ (T₃ ) лежат на одной прямой.

Определяя площадь, ограниченную петлей декартова листа, получим:

3. Способ построения. Заметим предварительно, что если ось симметрии декартова листа принять за ось абсцисс, то уравнение его примет вид

(5)

Пусть теперь имеется окружность с радиусом r и центром в точке

и прямая х= - h . Возьмем произвольную точку Q этой окружности и проведем прямую QA и прямую QN , перпендикуляр­ную к оси абсцисс (рис. 2). Из точки пересечения R прямой QA с прямой х= -h проводим прямую RO до пересечения ее в точке Q ₁ с прямой QN. Та­ким образом, точке Q на окруж­ности будет поставлена в соответ­ствие точка Q₁ . Геометрическое место точек Q₁ представляет со­бой декартов лист.

Рис 2.

Для доказательства заметим, что координаты точки Q можно записать в виде

угол, состав­ляемый радиусом круга, проведенным в точку Q, с положительным направлением оси абсцисс. В соответствии с этим уравнение прямой QA может быть записано в виде

Полагая в этом уравнении х= - h , находим ординату

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--