В то же время уравнение прямой Q ₁ N имеет вид

(7)

Исключая из уравнений (6) и (7) параметр w , находим уравнение гео­метрического места точек Q₁ в виде

Сопоставляя его с уравнением (5), заключаем, что найденное геомет­рическое место точек является декартовым листом.

Преобразование точек окружности в точки декартова листа, осу­ществляемое при таком его построении, называется преобразованием Маклорена .

4. Историческая справка. Впервые в истории математики кривая, названная впоследствии декартовым листом, определяется в письме Декарта к Ферма в 1638 г. как кривая, для которой сумма объемов кубов, построенных на абсциссе и ординате каждой точки, равняется объему параллелепипеда, построенного на абсциссе, ординате и неко­торой константе. Форма кривой устанавливается впервые Робервалем, который находит узловую точку кривой, однако в его представлении кривая состоит лишь из петли. Повторяя эту петлю в четырех квад­рантах, он получает фигуру, напоминающую ему цветок с четырьмя лепестками. Поэтическое название кривой «лепесток жасмина», однако, не привилось. Полная форма кривой с наличием асимптоты была определена позднее (1692) Гюйгенсом и И. Бернулли. Название «декартов лист» прочно установилось только с начала 18 века.

Циссоида Диоклеса

1. Особенности формы. Среди многих способов образования циссоиды— кривой, открытой древними в поисках решения знамени­той задачи об удвоении куба, мы остановимся сначала на простейшем. Возьмем окружность (называемую производящей) с диаметром ОА=2а и касательную АВ к ней. Через точку О проведем луч ОВ и на нем отложим отрезок ОМ=ВС. Построенная таким обра­зом точка М принадлежит циссоиде. Повернув луч 0В на некоторый угол и проделав указанное построение, мы найдем вторую точку циссоиды, и т. д. (Рис. 3).

Если точку О принять за полюс, то но откуда получаем полярное уравнение циссоиды

(1)

Пользуясь формулами перехода от полярных координат к декартовым, найдем уравнение циссоиды в пря­моугольной системе:

(2)

Параметрические уравнения циссоиды можно получить, пола­гая x=ty, тогда, на основании уравнения (2), придем к системе

Рис. 3

Уравнение (2) показывает, что циссоида является алгебраической кривой 3-го порядка, а из уравне­ний (3) следует, что она является рациональной кривой.

Циссоида симметрична относи­тельно оси абсцисс, имеет бесконеч­ные ветви; касательная к производящей окружности, т. е. прямая х = 2а, служит для нее асимптотой; начало координат является точ­кой возврата 1-го рода.

2. Свойства. Кинематически циссоида может быть получена как траектория середины М катета ВС треугольника АВС, передвигаю­щегося в плоскости чертежа так, что его вершина В скользит по оси ординат, а другой катет АС всегда проходит через неподвижную точку Е на оси абсцисс. (Рис. 4)

Действительно, обозначив середину отрезка ОЕ через D , замечаем, что поскольку ВС=ЕО, ê ВСЕ= ê ВЕО, откуда /_ ВЕО = /_ СВЕ, и, следовательно, ê NBE — равнобедренный, а так как Е D =ЕО/2=ВС/2=ВМ, то отрезок DM параллелен отрезку BE . Пусть, далее, точка К есть точка пересечения с продолжением отрезка DM пря­мой, проходящей через точку В параллельно оси абсцисс. Опишем окружность с центром в начале координат и радиусом, равным OD, и проведем к ней касательную во второй точке пересечения с прямой ЕО. Она пройдет, очевидно, через точку К. Обозначив точку пересечения прямой DMK с окружностью через F , заметим, что тре­угольники DOF и МВК равны между собой. Из равенства их сле­дует, что DF = MK , а значит, и DM = FK . Последнее равенство и показывает, что геометрическое место точек М будет циссоидой.

Другие способы образования циссоиды основаны на ее соотноше­ниях с параболой. Покажем в первую очередь, что циссоида яв­ляется подэрой параболы относительно ее вершины.

– уравнение данной параболы. Уравнение каса­тельной в произвольной точке М (x, h) этой параболы можно записать в виде уравнение перпендикуляра, опущенного из

Рис. 4.

начала координат на эту касательную, будет координаты точки N пересечения его с касательной определятся по формулам

(4)

Исключая из этих равенств параметр h, мы получим уравнение

выражающее циссоиду.

Заметим далее, что координаты точки, симметричной началу коор­динат относительно касательной к параболе у² = 2рх, получатся, если правые части формул (4) удвоить, и, следовательно, определятся формулами

Исключая из этих равенств параметр h, мы снова получим циссоиду с уравнением Отсюда следует, что циссоида является геометрическим местом точек, симметричных вершине параболы относительно ее каса­тельных.

Следует заметить, что геометрическое место точек, симметричных началу координат относительно касательной к параболе, можно рас­сматривать как траекторию вершины другой параболы, одинаковой с данной, которая катится по данной параболе. Таким образом, возни­кает новый способ кинематического образования циссоиды как тра­ектории вершины параболы, которая без скольжения катится по другой такой же параболе.

Остановимся на метрических свойствах циссоиды; при этом нам будет удобно пользоваться параметрическими уравнениями циссоиды в виде

Площадь, ограниченная циссоидой и ее асимптотой, равняется утроенной площади производящего круга; действительно,

Это соотношение получено было Гюйгенсом и независимо от него Ферма.

Рис. 5.

Определяя площадь криволинейного треугольника ОАМС (рис.5), найдем, интегрируя в границах до что она равна Если теперь провести касательные в точках А и С к производящему кругу, то площадь криволинейного треугольника CMANC будет равна

Выражение, стоя­щее в правой части, определяет утроенную площадь криволинейного треугольника CLANC. Итак, пл. CMANC =3 пл. CLANC. Это соотношение было открыто также Гюйгенсом.

Объем тела, образованного вращением части плоскости, ограни­ченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат определится по формуле

Если учесть, что объем тора, получаемого от вращения производя­щего круга вокруг оси ординат, равняется то из полученного результата следует, что объем тела, получаемого вращением части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат, в пять раз больше объема тора, полученного от вра­щения производящего круга вокруг той же оси. Это соотношение было получено также Гюйгенсом.

Пусть теперь х_с — абсцисса центра тяжести части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой; тогда по теореме Гюльдена будем иметь V == U • 2pх_с , где V и U—соответственно объем и площадь, которые были определены выше. Подставляя их значения