Реферат: Кривые третьего и четвертого порядка

Обратимся теперь к рассмотрению некоторых частных свойств астроиды.

Астроида является огибающей отрезка постоянной длины, кон­цы. которого скользят по двум взаимно перпендикулярным пря­мым.

Принимаем эти прямые за оси координат и, обозначая угол на­клона скользящего отрезка ND=R через a (рис.12), будем иметь уравнение прямой ND в виде

(7)

Дифференцируя это уравнение по параметру a, получим:

Исключая из последнего уравнения и уравнения (7) параметр a, будем иметь уравнение огибающей в виде т. е. астроиду.

Практически перемещение отрезка ND можно осуществить с по­мощью так называемых кардановых кругов. Один из этих кругов с радиусом R неподвижен, а другой, с радиусом r, в два раза мень­шим, катится по внутренней стороне неподвижного круга. Любые две диаметрально противоположные точки N и D катящегося круга будут перемещаться по двум взаимно перпендикулярным диаметрам Ох и Оу неподвижного круга. Ясно, что огибающей диаметра катящегося круга и будет астроида.

Рис. 11

Рис. 12

Рассмотренный способ образования астроиды можно истолковать также следующим образом. Прямоугольник ODCN, две стороны ко­торого лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых, деформи­руется так, что диагональ его сохраняет длину, равную R, огибаю­щая диагонали и будет астроидой. Так как при этом перпендикуляр, опущенный из вершины С на диагональ DN, служит нормалью к оги­бающей, то астроида представляет собой геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из вершины С прямоуголь­ника на его диагональ.

2. Свойства касательных к астроиде . Уравнение (7) выражает прямую ND, т. е. касательную к астроиде в некоторой точке М, причем параметр a представляет собой угол, составляемый этой ка­сательной с осью абсцисс. Уравнение другой касательной, перпенди­кулярной к первой, будет иметь вид

(8)

Исключая из уравнений (7) и (8) параметр а, получим уравнение или, в полярной системе, которое выражает четырехлепестковую розу. Итак, геометрическое место вершин прямого угла, стороны которого касаются астроиды, есть четырех лепестковая роза.

Другое свойство касательных к астроиде таково: каждая касательная пересекает астроиду в двух точках, касательные в которых пересекаются в точке, лежащей на окружности описанного около астроиды круга.

Определим подэру астроиды от­носительно точки Р, лежащей на бис­сектрисе 1-го координатного угла на расстоянии ОР=с от начала коорди­нат. Выше было показано, что астроиду можно рассматривать как огибающую отрезка ND = R, скользящего своими концами по координатным осям. Отсюда

Рис. 13

следует, что искомую подэру можно определить как геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки Р на пря­мую ND (рис. 13). Проведем ОЕ _|_ ND, и OQ, где Q — середина отрезка ND. Точку Р посчитаем полюсом, а прямую РК полярной осью. Полярный угол КРМ точки М подэры обозначим через j, а радиус-вектор РМ — через r. Тогда, как легко видеть, угол

Так как

Но, с другой стороны, На основании последних двух равенств, полярное уравнение подэры запишется в виде а в прямоугольной системе с началом в точке Р в виде

Полученная таким образом кривая 6-го порядка имеет в начале коор­динат четырехкратную точку и называется «жуком». В частном слу­чае, пои с=0, жук становится розой,

3. Косая астроида. Обобщением рассмотренной астроиды является так называемая косая астроида, которая представляет собой оги­бающую отрезка ND постоянной длины R, скользящего своими кон­цами по двум прямым, пересекающимся под произвольным углом f.

Рис. 14

Полагая эти пересекающиеся прямые координатными осями, обозна­чим угол, составляемый прямой ND с осью абсцисс, через t. Тогда из треугольника OND (рис. 14) будем иметь:

откуда

и следовательно, уравнение прямой ND в отрезках на осях запи­шется в виде

Дифференцируя это урав­нение по t и исключая из полученного после дифференцирования равенства и уравнения прямой параметр t, получим параметрические уравнения косой астроиды в виде

при эти уравнения выражают рассмотренную ранее прямую астроиду.