Реферат: Культура математического языка школьников и их познавательная активность

Чтобы составить общее наименьшее кратное одночленов, нужно найти наименьшее общее кратное их числовых коэффициентов и приписать к нему множителями всех первообразных буквенных множителей, входящих в данныя выражения, придав каждому из этих множителей показателя степени наибольшаго между теми показателями, с которыми он входит в данныя выражения(с.92п.2.).

Легко и понятно излагается понятия об уранении и приемах его решения.

Глава III.

Об уравнениях вообще. Решение определенных уравнений 1-й степени с одною неизвестною. Составление уравнений из условий данной задачи.

30. Равенство двух количеств называется уравнением, напр.а = а, За2 — Ь = 2а+b2.

Количество, находящееся по левую сторону знака равенства, называется первою частью уравнения, а то, которое по правую сторону, — второю частью…

31. Способы для решения уравнений основаны на следующих очевидных истинах (аксиомах):

1) Если к равным количествам прибавим равныя, или из равных количеств вычтем равныя, то получим в сумме или остатке равныя количества.

Напр., так как 5=5 и 3=3, то 5+3 = 5+3 и 5—3 = 5—3. Вообще, если а = b и с= d, то а± с=b±d.

2) От умножения или разделения равных количеств на равныя количества, получим равныя произведения или частныя.

Напр., так как 5=5 и 3=3, то 5х3=5х3 и 5/3=5/3; вообще если а=b и с=d, то ас= bd и a/c =b/d…

Примеры:

1) 0,27х — 5,643 — 2х = 6,42 — 8,241х;

4) 10 — {х — [3 — 2х — (4х— 7)]} = х— {10+Зх— [5— (5— Зх;)]}

Поверка решения. Чтобы поварить решение, надобно найденное количество подставить в уравнение вместо неизвестнаго и произвести действия, показанныя в каждой части уравнения. Если получим тожество, то решение верно; в противном случае оно неверно(с.52,53,58 п.1.).

Колоссальный интерес представляют задачи исследовательского характера, предлагаемые учащимся (с.131-132 п.1).

ГЛАВА VIII.

Решения, неудовлетворяющия условиям вопроса. Изследование всех случаев, которые представляют общия формулы, служащия для решения уравнений первой и второй степени.

Отрицательные решения.

59. Может случиться, что, решая уравнения, выведенныя из условий вопроса, мы получим для неизвестных числа, которыя, удовлетворяя уравнениям, не удовлетворяют требованию вопроса. В таком случае или условия вопроса несообразны, или было сделано при составлении уравнения неверное предположение, или полученныя числа представляют решение другаго вопроса.

Пример:

Отцу 41 год, а сыну 14; спрашивается, через сколько лет отец будет в четыре раза старше своею сына?

Означим через х искомое число лет. По прошествии х лет, отцу будет 41 + х лет, а сыну 14 + х,

след. 41 + х = (14 + х) 4, (а)

или 41 + х = 56 + 4х; откуда х = —15/3=–5.

Подставим — 5 вместо х в уравнение (а), получим 41 — 5 = (14 — 5) 4 или 36 = 36;

след. найденное решение удовлетворяет уравнению; но оно не удовлетворяете вопросу, потому что в вопросе требуется положительное число, которое должно прибавить к летам отца и сына. Очевидно, что нет такого числа; в противном случае, оно должно бы удовлетворять непременно уравнению (а) и уравнению —3х= — 15, из него выведенному. А это невозможно; потому что никакое положительное число, подставленное вместо х и помноженное на отрицательное число —3, не может дать положительнаго произведения 15.

Подставив отрицательное решение в уравнение, из котораго оно было выведено, вместо неизвестнаго, мы увидим, какия должно сделать перемены в вопросе, чтобы требования его были возможны. Так, в предыдущем примере, подставив — 5 вместо х в уравнение (а), мы получим 41 —5 = (14 —5) 4.

Это показывает, что из лет отца и лет сына должно вычесть по 5 лет, чтобы года отца были в 4 раза больше лет сына, т. е. пять лет тому назад отец был в четыре раза старте сына.

Очень показательным является разнообразие способов решения одной и той же задачи с помощью уравнения (с.148-151 п.2).