По условию x₁ > и потому х₁ ² >a, <1. Но ² = = a . Т.к. <1, то a <a . Значит, а и - приближенное значение для по недостатку.

Аналогично доказывается, что если – приближенное значение для по недостатку, то – приближенное значение по избытку.

Поскольку и являются приближенными значениями для по избытку и по недостатку, то в качестве лучшего приближения для естественно выбрать среднее арифметическое этих чисел, т.е. число х2 = . А чтобы получить еще более точное значение для , надо взять среднее арифметическое чисел , т.е. число х3 = . Так вычисляются одно за другим все лучшие и лучшие приближенные значения для . Приближения ведут до тех пор, пока два полученных значения не совпадут в пределах заданной точности. Можно доказать, что каждое приближение примерно удваивает число верных десятичных знаков.

Пример 1. Уточним по формуле х2 = приближение

х1 = 1,414 для .

Решение.

В нашем случае а=2. Поэтому

х1 = (1,414 + 1,4144271) + 1,4142135…

Выполнив еще одно приближение, мы убедимся, что все выписанные знаки полученного ответа верны, т.е. число верных знаков удвоилось.

Пример 2 . Найдем приближенное значение для с точностью до 0,0001.

Решение.

Выберем за первое приближение для число 2. Тогда второе приближение вычисляется так:

х2 = = 2,25

Далее имеем

х3 == 2,2361,

х4==2,2361.

Значит, с точностью до 0,0001 имеем =2,2361.

Ответ:

3. Геометрические приложения

К извлечению квадратных корней сводятся многие геометрические задачи. Например, в курсе геометрии доказывают теорему Пифагора : квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин катетов этого треугольника. Индийцы две тысячи лет тому назад доказывали ее с помощью следующего чертежа.

Рис. 1

Видим, что площади заштрихованных фигур в обоих квадратах равны, но в одном случае площадь равна , а в другом – . Значит, .

Из теоремы Пифагора следует, что расстояние между точками

М (х1; у1) и N (x2; y2) координатной плоскости (рис. 2) выражается формулой

MN= (1)

Пример 1 . Найдем расстояние от вершины дерева до конца его тени, если высота дерева равна 12 м, а длина тени – 16 м.