Так как , т.е. расстояние равно 20 м.

Пример 2 . Найдем расстояние между точками М (3; 1) и N (8; -11) координатной плоскости.

Решение.

По формуле (1) имеем MN = = =13

4. Основные тождества для квадратных корней

Из определения квадратного корня вытекает, что равенство=х, где а0, верно в том и только в том случае, когда х² =а, причем х0. Заменяя в равенстве х² =а переменную х на , получаем тождество ² =а, (1)

верное для всех а0. Заменяя в равенстве =х переменную а на х² , получаем тождества

= х, (2)

которое верно для всех х0.

Например , ² = 25;² = 8; ² = 0,11; = 6; =0,24.

Формулы и показывают, что для неотрицательных чисел операции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня взаимно обратны, т.е. если выполнить над каким-нибудь неотрицательным числом сначала одну из этих операций, а потом другую, то число не изменится.

Если а – отрицательное число, то равенство неверно, так как не имеет числового значения. При отрицательных значениях х неверно и равенство . Например , ² ==5, а не –5. Так как х ² =² , а при х < 0 имеем – х > 0,

то при х< 0 верно равенство =² = – х (3)

Итак,

x, если х 0,

= – х, если х < 0.

Но мы знаем, что х, если х 0,

=

– х, если х < 0.

Поэтому для всех чисел х верно равенство

= . (4)

Например, ==8, ² = = 12.

Пример 1 . Упростим выражение +² + - ² .

Р е ш е н и е. Так как ² = 3, ² = 2, то +² + - ² =² +

2 + ² +² – 2 + ² =2 ² + 2 ² = 2 3 + 2 2 = =10.

Пример 2 . Найдем значения выражения при а = 2,1; b = 3,6

Решение. При любом значении х выполняется равенство