Реферат: Квантовая статистика

где (9)

(10)

m - масса частицы

Функция g(E) характеризует число квантовых состояний в единице объёма в единичном интервале для свободных частиц и носит название плотности квантовых состояний. Из (9) следует, что плотность квантовых состояний для свободных частиц, подчиняющихся статистике Ферми-Дирака, растет с ростом энергии:

g(E) ~

Функция f(E,T) называется функцией Ферми. Эта функция определяется вероятностью того, что квантовые состояния с энергией Е заняты частицами при заданной температуре Т. По её смыслу её не может быть больше единицы.

Параметр системы частиц EF, входящий в выражение для функции Ферми, носит название энергии Ферми (энергию Ферми называют также химическим потенциалом), а соответствующее значение по лекалу энергий называется энергией Ферми.

Формально, исходя из (10), энергию Ферми можно определить как энергию таких квантовых состоянии, вероятность заполнения которых частицами равна 0,5. Действительно, из (10) следует, что f(EF,T) =0,5.

Энергия Ферми квантовой системы фермионов зависит от

(11)

концентрации частиц n0 и от температуры Т, а значение энергии Ферми при абсолютном нуле температуры (здесь и далее абсолютный нуль температуры понимается как предел Т=>0, имеется в виду, что абсолютный нуль недостижим) можно рассматривать по формуле

.

Обычно рассматриваются системы, у которых . Для таких систем cогласно (1) можно пренебречь зависимостью энергии Ферми от температуры и считать

Вид функции Ферми приведен на рисунке.

полностью заполненные частицами, а все квантовые состояния с энергией - пустые. Поэтому энергию Ферми при абсолютном нуле можно определить как максимальную энергию частиц данной системы при T=00K. За счет нагрева системы часть частиц имевших при T=00K энергии меньше уровня Ферми приобретают энергии несколько выше уровня Ферми. При этом область частично заполненных квантовых состояний, т.е. область, где, , имеет по шкале энергий размер порядка 2КТ.

Системы, описываемые квантовой статистикой Ферми-Дирака, называют вырожденными системами, в отличие от невырожденных систем классических частиц, подчиняющихся статистике Максвелла-Больцмана.

При температурах выше некоторой температуры TB, которая называется температурой вырождения системы, свойства системы фермионов изменяются так, что квантовая статистика Ферми-Дирака при Т>TB переходит в классическую статистику Максвелла-Вольцмана. При температуре выше температуры вырождения часть фермионов можно рассматривать как невырожденный классический газ. Температура вырождения системы зависит от ее энергии Ферми, т.е. от концентрации частиц n0, увеличиваясь с ростом n0.

Например, температура вырождения в калии, ;

.

.

.

Такие большие значения для температур вырождения электронного газа (порядка десятков тысяч градусов) получаются практически для всех металлов. Это говорит о том, что электронный газ в металле практически всегда следует рассматривать как вырожденный газ. Классическое описание его свойств с применением статики Максвелла-Больцмана невозможно.

Зная распределение dn(E) электронов в металле, можно установить распределение dn(P) электронов, по импульсам. Определим частичный случай распределения при Т=О.