Реферат: Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)
Параметр для поворота плоскости
будем считать изменяющимся mod 2p т. е.
=
. Такое же соглашение будем использовать и для винтового перемещения
при h > 0. Если же h = 0 , и речь идет о повороте в пространстве, надо учитывать, что
=
. В частности,
=
(отражение относительно прямой параллельной v и проходящей через О). Аналогично,
=
. Если при этом j=p это преобразование не зависит от вектора n и является отражением относительно точки О.
4* Композиции 1.
Теорема 4
Если f и g два перемещения X, а f*, g* - соответствующие операторы в V, то (f·g)* = f*g*(Символом · обозначена композиция перемещений).
Доказательство.
Используем координатную форму записи: f( R) = AR + v, g( R) = BR + w. Тогда: (f·g)( R) = f( (g( R)) = f( BR + w) = A( BR +w) +v = ( AB)R + ( Aw + v). Следовательно, (f·g)* = AB = f*g*.
Следствие.
Композиция двух перемещений с определителями одного знака имеет определитель (+1); если знаки определителей противоположны, композиция имеет определитель (-1).
Вычисление композиции перемещений пространства не вызывает затруднений. Отметим только, что
·
=
,где v =2AB.
Для случая пространства удобно использовать комплексные числа. Отождествляя их с точками плоскости, получаем удобный способ записи перемещений. Например, поворот
можно записать в виде: z ®
z + c. Точка О является неподвижной и соответствующее комплексное число
находится из уравнения
=
+ с, откуда
= с/(1-
). Таким образом,
Отметим, что
=
при j+y№0 (mod 2p) . В то же время при j+y = 0 указанная композиция будет переносом на вектор AD, где D =
.
Преобразование z®+c является скользящим отражением относительно прямой Im(
= 0 на вектор 0,5 (с +
). Если прямая l проходит через точку
и ее направляющий вектор (рассматриваемый как комплексное число) имеет аргумент
, то перемещение
можно записать в виде
Композиция двух скользящих отражений относительно пересекающихся прямых будет поворотом. В то же время, если прямые параллельны, композиция - перенос.
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
(продолжение)
5.Кватернионы
Удобный способ аналитической записи перемещений в пространстве дают кватернионы , являющиеся обобщением комплексных чисел. Чтобы подчеркнуть аналогию между способами построения кватернионов из комплексных чисел и построением комплексных чисел из вещественных сравним обе конструкции.
Построение комплексных чисел Построение кватернионов
1. Комплексное число z = a + bi -это матрица |
1. Кватернион q = z + wj - это матрица |
Отсюда вытекает, что для этих чисел имеют место те же законы действий, что и для матриц, т.е. ассоциативность умножения и закон дистрибутивности. Непосредственно проверяется коммутативность умножения комплексных чисел(но не кватернионов!) | |
2. Число вида a + 0i можно отождествить с вещественным числом a и таким образом |
2. Число вида z + 0j можно отождествить с комплексным числом z и таким образом |
|
|
4. Число |
4. Число |
Обратное число определено однозначно так как ему отвечает (однозначно определенная !) обратная матрица. | |
К-во Просмотров: 209
Бесплатно скачать Реферат: Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)
|