Математика / Реферат: Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)

Реферат: Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)

Параметр для поворота плоскости будем считать изменяющимся mod 2p т. е. = . Такое же соглашение будем использовать и для винтового перемещения при h > 0. Если же h = 0 , и речь идет о повороте в пространстве, надо учитывать, что = . В частности, = (отражение относительно прямой параллельной v и проходящей через О). Аналогично, = . Если при этом j=p это преобразование не зависит от вектора n и является отражением относительно точки О.

4* Композиции 1.


Теорема 4

Если f и g два перемещения X, а f*, g* - соответствующие операторы в V, то (f·g)* = f*g*(Символом · обозначена композиция перемещений).

Доказательство.

Используем координатную форму записи: f( R) = AR + v, g( R) = BR + w. Тогда: (f·g)( R) = f( (g( R)) = f( BR + w) = A( BR +w) +v = ( AB)R + ( Aw + v). Следовательно, (f·g)* = AB = f*g*.

Следствие.

Композиция двух перемещений с определителями одного знака имеет определитель (+1); если знаки определителей противоположны, композиция имеет определитель (-1).

Вычисление композиции перемещений пространства не вызывает затруднений. Отметим только, что · = ,где v =2AB.

Для случая пространства удобно использовать комплексные числа. Отождествляя их с точками плоскости, получаем удобный способ записи перемещений. Например, поворот можно записать в виде: z ®z + c. Точка О является неподвижной и соответствующее комплексное число находится из уравнения = + с, откуда = с/(1-). Таким образом, Отметим, что = при j+y№0 (mod 2p) . В то же время при j+y = 0 указанная композиция будет переносом на вектор AD, где D = .

Преобразование z®+c является скользящим отражением относительно прямой Im(= 0 на вектор 0,5 (с + ). Если прямая l проходит через точку и ее направляющий вектор (рассматриваемый как комплексное число) имеет аргумент , то перемещение можно записать в виде

Композиция двух скользящих отражений относительно пересекающихся прямых будет поворотом. В то же время, если прямые параллельны, композиция - перенос.


ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

(продолжение)


5.Кватернионы


Удобный способ аналитической записи перемещений в пространстве дают кватернионы , являющиеся обобщением комплексных чисел. Чтобы подчеркнуть аналогию между способами построения кватернионов из комплексных чисел и построением комплексных чисел из вещественных сравним обе конструкции.

Построение комплексных чисел Построение кватернионов

1. Комплексное число z = a + bi -это матрица вида , где . Действия над ними производятся по правилам алгебры матриц.

1. Кватернион q = z + wj - это матрица вида , где. Действия над ними производятся по правилам алгебры матриц

Отсюда вытекает, что для этих чисел имеют место те же законы действий, что и для матриц, т.е. ассоциативность умножения и закон дистрибутивности. Непосредственно проверяется коммутативность умножения комплексных чисел(но не кватернионов!)

2. Число вида a + 0i можно отождествить с вещественным числом a и таким образом .

2. Число вида z + 0j можно отождествить с комплексным числом z и таким образом .

  1. Модулем числа z называется вещественное число =., = 0 Ы z =0

  1. Модулем числа q называется вещественное число= .

4. Число = a - bi называется сопряженным к числу a + bi . Легко проверить, что число сопряженное с произведением равно произведению сопряженных чисел. Заметим еще , что = . Отсюда вытекает, что всякое ненулевое комплексное число z имеет обратное .

4. Число = - wj называется сопряженным к числу z + wj Легко проверить, что число сопряженное с произведением равно произведению сопряженных чисел в обратном порядке. Заметим еще , что . Отсюда вытекает, что всякий ненулевой кватернион имеет обратный , причем

Обратное число определено однозначно так как ему отвечает (однозначно определенная !) обратная матрица.

К-во Просмотров: 215
Бесплатно скачать Реферат: Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)