Реферат: Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)

Всякое перемещение n - мерного точечного пространства можно представить в виде композиции не более чем (n+1) отражений.

Доказательство.

Условимся, что произведение пустого множества преобразований является тождественным отображением. Приняв это соглашение, мы видим, что при n = 1 первое утверждение очевидно. При n = 2 для доказательства того же утверждения достаточно заметить, что композиция двух отражений относительно осей, составляющих угол a/2, будет вращением на угол a. Таким же образом пространственное вращение представляется в виде композиции двух отражений относительно плоскостей, проходящих через ось вращения. Наконец, зеркальный поворот требует еще одного дополнительного отражения относительно плоскости перпендикулярной оси.

Для доказательства второго утверждения отметим прежде всего, что перенос (скажем на плоскости) на вектор h можно представить в виде композиции двух отражений относительно параллельных осей, перпендикулярных h. Поскольку всякое перемещение можно рассматривать как композицию перемещения, сохраняющего начало координат(которое можно отождествить с соответствующим ортогональным оператором) и параллельного переноса, второе утверждение доказано для всех таких перемещений, для которых соответствующая матрица представляется в виде композиции

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

(продолжение)

9. Группы преобразований

Пусть X некоторое множество, Sym(X) - множество всех взаимно однозначных отображений X на себя. Элементы называются преобразованиями множества X.. Композиция двух таких преобразований будет называться их произведением. Таким образом , (fg)(x) = f(g(x)). Отметим, что это произведение ассоциативно: (fg)h = f(gh).Для каждого преобразования f имеется обратное преобразование . Непустое множество G преобразований X называется группой преобразований, если:

1. 

2. 

Заметим, что каждая группа преобразований G содержит тождественное преобразование i. В самом деле, пусть - любой элемент. Тогда и значит . Число элементов в G, если оно конечно, называется порядком группы преобразований. Если H и G две группы преобразований множества X и , то H называется подгруппой G.

Приведем два основных примера групп преобразований. Пусть - любое подмножество и любая группа преобразований.

1. Множество всех таких преобразований , что f(y) =y образует подгруппу (сиационарные на Y преобразования).

2. Множество всех таких преобразований , что образует подгруппу (G - симметрии множества Y).

Приведем теперь более конкретные примеры.

1. Если X ={ 1, 2, ... , n } то группа Sym(X) обозначается и состоит из всех подстановок степени n . Эта группа состоит из n! элементов.

2. Множество всех перемещений n - мерного пространства образует группу преобразований . - подгруппа.

3. Пусть некоторая точка (начало координат). Группа состоит из всех перемещений сохраняющих начало координат. Как ?