Реферат: Линейное программирование: решение задач графическим способом
|
|
Наконец, возможен случай, когда неравенства (1.31) противоречат друг другу , и допустимая область вообще пуста .
Рассмотрим теорию на конкретном примере:
Найти допустимую область задачи линейного программирования, определяемую ограничениями
|
|
(1.32) |
Решение:
1. Рассмотрим прямую 
. При 
, а при 
. Таким образом, эта прямая проходит через точки (0,1) и (-1,0). Беря 
получим, что -0+0<1 и поэтому интересующая нас полуплоскость лежит ниже прямой, изображенной на рис. 4.а.
2. Рассмотрим прямую 
. При 
, а при . Таким образом, эта прямая проходит через точки (0, -1/2) и (1,0). так как 
(4.б).
3. Наконец, рассмотри
м прямую 
. Она проходит через точки (0,3) и (3,0) и так как 0+0<3, то интересующая нас полуплоскость лежит ниже прямой, изображенной на рис. 4.в.
Сводя все вместе и добавляя условия 
получим рисунок 5, где выделена область, в которой выполняются одновременно все ограничения (1.32). Обратите внимание на то, что получившаяся область имеет вид выпуклого многоугольника .
Этап 2.
Вернёмся теперь к исходной задаче линейного программирования. В ней, кроме системы неравенств, есть еще целевая функция 
.
|
Рассмотрим прямую
. Будем увеличивать L. Что будет происходить с нашей прямой?
Легко догадаться, что прямая будет двигаться параллельно самой себе в том направлении, которое дается вектором 
, так как это - вектор нормали к нашей прямой и одновременно вектор градиента функции 
.
А теперь сведем всё вместе. Итак, надо решить задачу
Oграничения задачи вырезают на плоскости некоторый многоугольник. Пусть при некотором L прямая пересекает допустимую область. Это пересечение дает какие-то значения переменных 
, которые являются планами.
Этап 3
Увеличивая L мы начнем двигать нашу прямую и её пересечение с допустимой областью будет изменяться (см. рис. 7). В конце концов эта прямая выйдет награницу допустимой области - как правило, это будет одна из вершин многоугольника . Дальнейшее увеличение L приведёт к тому, что пересечение
|
прямой с допустимой областью будет пустым. Поэтому то положение прямой , при котором она вышла на граничную точку допустимой области, и даст решение задачи, а соответствующее значение L и будет оптимальным значением целевой функции.
1.4 Примеры задач, решаемых графическим методом.
Пример:
Решить задачу
|
|
(1.41) |
Решение
Допустимую область мы уже строили - она изображена на рис. 5.
Повторим еще раз этот рисунок, оставив только допустимую область и
нарисовав дополнительно прямые (см. рис. 8).
|