Реферат: Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства

2. r (x, y) = r (y, x);

3. r (x, y) £r (x, z) + r (z, y) (неравенство треугольника).

Если введением расстояния пространство R превращено в метрическое пространство, то говорят, что в пространстве R введена метрика.

В радиотехнике элементами пространства являются сигналы (токи или напряжения), математическими моделями которых являются функции времени x(t), y(t), ... . Рассмотрим следующее пространство сигналов.

1. С_{[ a , b ]} - пространство непрерывных на промежутке [a, b] функций с метрикой:

y(t)

r(x,y)

2. L² _{( a , b )} - пространство интегрируемых в квадрате функций (x(t) ÎL² _{( a , b )} , если с метрикой

Определение. Элементы линейного пространства R называются линейно независимыми, если из условия

следует, что

a₁ = a₂ = . . . = a_n = 0.

В противном случае элементы f₁ , f₂ , . . . , f_n считаются линейно зависимыми.

Максимальное число линейно независимых элементов определяет размерность dimR пространства R и образуют базис этого пространства. Если m = dimR, то пространство обозначается R_m .

2. Линейные нормированные пространства

Определение. Линейное пространство R называется нормированным, если каждому элементу х ÎR ставится в соответствие вещественное число ("длина" элемента х), называемое нормой х, которое удовлетворяет условиям:

1. , тогда х = 0;

2. (однородность нормы);

3. (неравенство треугольника).

Положив для

превращаем нормированное пространство R в метрическое.

Можно и метрическое пространство R превратить в нормированное, если метрика удовлетворяет условиям:

положив

Рассмотренные ранее пространства сигналов С_{[ a , b ]} и L² _{( a , b )} становятся соответственно нормированными, если