Реферат: Логіка і множини

Означення 1. Говорять, що вислови pі qлогічно еквівалентні, якщо вислів p«qє тавтологія.

Приклад 7. Вислови p→qі q→pлогічно еквівалентні. Останній вислів називають контра позицією першого.

Зауваження. Вислови p→qі q→pне є логічно еквівалентними. Останній називається обернений до першого.

4. Функції висловлювань і множини

В багатьох випадках ми вживаємо вислови типу "xє парне число", що містять одну або декілька змінних. Ми будемо називати їх функціями висловлювань або пропозицій. В наведеному прикладі вислів є істинний для одних значень х і хибний для інших. Виникають наступні питання:

Які значенняxдопустимі?

Чи вислів є істинним при всіх допустимих значеннях x?

При яких саме допустимих значеннях xвислів є істинним?

Щоб відповісти на ці питання нам потрібно поняття множини. Нехай Р є множина і х є елемент цієї множини. Цей факт позначають x∈P. Елементи множини можна задати двома способами:

· Перечисленням, наприклад {1, 2, 3} означає множину, що складається з чисел 1, 2, 3 і нічого більше;

· Визначенням властивості (функції висловлюваньp(x)). В цьому випадку важливо визначити множинуUдопустимих значень x. Тодіможемонаписати

P= {x: x∈Uі p(x) істинно} або, просто , P= {x: p(x)}.

Множина без жодного елемента називається пустою і позначається Æ.

N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} називається множиною натуральних чисел.

Z = {. . . ,-2,-1, 0, 1, 2, . . .} називається множиною цілих чисел.

{x: x∈Nі -2 < x < 2} = {1}.

{x : x∈Zі-2 < x < 2} = {-1, 0, 1}.

{x: x∈Nі-1 < x < 1} = Æ.

5.Функції множин

Припустимо, що функції висловів p(x), q(x) відносяться до множин P, Q, тобто P= {x: p(x)} і Q= {x: q(x)} . Визначимо наступні операції над множинамиперетинP∩Q= {x: p(x) ∧q(x)};

об’єднання P∪Q= {x: p(x) ∨q(x)};

доповнення CP= {x: p(x)};

різницюP\Q= {x: p(x) ∧q(x)}.

Ці означення легко перефразувати у форму

P∩Q= {x: x∈Pіx∈Q};

P∪Q= {x: x∈Pабоx∈Q};

СP= {x: xÏP};

P\Q= {x: x∈Pі xÏQ}.

Множина Pє підмножиною Q і позначається P⊆Qабо Q⊇P, якщо кожен елемент Pє елементом Q. Іншими словами, для множин P= {x: p(x)} і Q= {x: q(x)} маємо P⊆Qтоді і тільки тоді, коли p(x) →q(x) для всіх допустимих значень x∈U.