Реферат: Логіка і множини

Зміст

Вступ

1. Логічні операції над пропозиціями

2. Таблиця істинності

3. Тавтологія і логічна еквівалентність

4. Функції висловлювань і множини

5.Функції множин

6. Логіка квантифікаторів

Література

Вступ

Пропозиція це виcлів (твердження), який може бути істинним або хибним – третього не дано. В цьому полягає один із фундаментальних принципів логіки – принцип виключення третього. Істинність і хибність називаються логічними значеннями пропозиції. Пропозиція "2 + 2 = 4" істинна, а "p є раціональне число" хибна. З точки зору граматики пропозиція є речення – закінчена думка. Будемо розрізняти елементарні пропозиції і складні. Елементарній пропозиції відповідає просте речення з простими підметом і присудком. Виясняти, який з окремих елементарних висловів є істинним чи хибним, не є завданням логіки. Логіка займається знаходженням логічних значень складних пропозицій при умові, що логічні значення складових елементарних пропозицій відомі. Існує багато тверджень, істинність або хибність яких нікому не вдається довести. Наприклад, відома теорема Гольдбаха що "кожне парне число більше 2 є сумою двох простих чисел". В даному вище означенні пропозиції є великий дефект, згідно нього не завжди можна визначити, чи є дане твердження пропозицією. Наприклад, вираз "Я завжди говорю неправду". Тому інколи замість замість терміну "пропозиція" вживають більш нейтральний термін "вислів", в цьому разі не обов’язково треба знати, істинний вислів чи хибний.

1. Логічні операції над пропозиціями

Спочатку з’ясуємо правила з’єднання висловівдля одержання нових висловів. Позначимо довільні вислови pі q.

Означення 1. (Кон’юнкція) Говорять, що вислів p∧q(pі q) істинний, якщо обидва вислови p, qістинні і хибний в противному випадку.

Приклад 1. Вислів "2 + 2 = 4" і "2 + 3 = 5" є істинним.

Приклад 2. Вислів "2 + 2 = 4" і "pє число раціональне" хибний.

Означення 2. (Диз’юнкція). Говорять, що вислів p∨q(pабо q) хибний, якщо хоча б один з висловів p, qістинний, і хибний в противному випадку.

Приклад 3. Вислів "2 + 2 = 2" або"1 + 3 = 5" хибний.

Приклад 4. Вислів "2 + 2 = 4" або "pє число раціональне" істинний.

Означення 3. (Заперечення) Говоримо, щоp(неp) істинний, якщоpхибний, і навпаки, хибний, якщо piстинний.

Зауваження. В деяких підручниках замість pвживають позначення , в залежності від зручності ми будемо користуватися обома.

Приклад 5. Заперечення вислову "2 + 2 = 4" є вислів "2 + 2 ¹ 4".

Приклад 6. Заперечення вислову"pє число раціональне" є вислів "pє число ірраціональне". Означення 4. (Імплікація).Говорять, що вислів p→q(якщо p, то q) істинний, якщо pхибний, або qiстинний, або обидва істинні і хибний в противному випадку.Зауваження. Простіше визначити вислів p→qяк хибний у випадку, коли pістинний, а qхибний. Це треба розуміти наступним чином. Якщо ми зробили хибний висновок з істинного, то наше міркування помилкове. Але допускаємо, що істинний висновок може бути одержаний і з хибного припущення.

Приклад 7. Вислів "якщо 2 + 2 = 2", то"1 + 3 = 5" істинний, тому що вислів "2 + 2 = 2" хибний.

Приклад 8. Вислів "якщо 2 + 2 = 4", то "pє число раціональне" хибний.

Приклад 9. Вислів "якщо pє число раціональне" , то "2 + 2 = 4" істинний.

Означення 5. (Еквівалентність) Говорять, що вислів p«q(pтоді і лише тоді, колиq) істинний у випадку, коли p, qістинні або хибні одночасно і хибний в противному випадку.

Приклад 10. Вислів "2 + 2 = 4" тоді і лише тоді, коли "pє число раціональне" істинний.

Приклад 11. Вислів"2 + 2 ¹ 4" тоді і лише тоді, коли "pє число раціональне" також істинний.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--