Реферат: Математическая модель системы в переменных пространства состояний
=
.
Следовательно, уравнение движения рассматриваемой системы в переменных «вход – выход» имеет вид:
.
УСТОЙЧИВОСТЬ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Устойчивость или неустойчивость линейной многомерной системы (2.1.1) определяется ее свободным движением (
), которое характеризуется собственными числами матрицы А, определяемыми из характеристического уравнения
(3.1.1)
Линейная система (2.1.1) устойчива тогда и только тогда, когда все вещественные части собственных (характеристических) чисел λj =λj (A) (j=1,…,n) имеют неположительные значения, т.е. Reλj 
. Если Reλj <0, то система асимптотически устойчива.
Характеристическое уравнение (3.1.1) можно записать в виде
n n -1 n n 0. (3.1.2)
Условия устойчивости для системы n-го порядка записываются в виде определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов характеристического уравнения (3.1.2).
.
Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при α0 >0 были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть ΔI >0 (i=l,...,n). Положительность последнего определителя Гурвица
Δn =αn Δn -1 (3.1.3)
при Δn -1 >0 сводится к положительности свободного члена αn характеристического уравнения.
3.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 3.2.1
Определить устойчивость и характер свободного движения динамической системы, заданной в пространстве состояний векторными уравнениями
, (3.2.1)
. (3.2.2)
Решение.
Запишем для системы (3.2.1) характеристическое уравнение (3.1.1)
, (3.2.3)
решение которого дает следующие корни:
.
Рассматриваемая динамическая система является устойчивой. Ее свободное движение носит апериодический сходящийся характер, так как вещественные части корней характеристического уравнения отрицательные.
Задача 3.2.2
Определить устойчивость динамической системы, заданной в пространстве состояний векторно-матричными уравнениями
, 
, (3.2.4)
. (3.2.5)
Решение.
Запишем для системы (3.2.4) характеристическое уравнение (3.1.1)