. (3.2.6)

Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим следующее характеристическое уравнение:

. (3.2.7)

Устойчивость системы будем определять на основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица, составив для этого по уравнению (3.2.7) матрицу Гурвица

. (3.2.8)

Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при положительности коэффициента при старшей степени (в нашем случае коэффициент при λ³ равен 1) были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть Δ_i >0 (i=1,2,3)

, .

В соответствии с вышеизложенным находим, что свободный член характеристического уравнения (3.2.7) равный 54 - положительный.

Следовательно, система (3.2.4) является устойчивой.

УПРАВЛЯЕМОСТЬ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Управляемость системы (2.1.1), (2.1.2) по состояниям определяется теоремой (критерием) Калмана: система будет управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости L_c размерности равен n, то есть

rankn, (4.1.1)

где

. (4.1.2)

Если rank<n, то система будет частично управляемой, а при rank=0 – полностью неуправляемой.

Управляемость системы (2.1.1), (2.1.2) по выходам (критерий Калмана): система будет управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости размерности равен l то есть

rank=l, (4.1.3)

где

. (4.1.4)

Если rank<l, то система будет частично управляемой по выходам, а при rank=0 – полностью неуправляемой.

Показатель степени n в выражениях (4.1.2), (4.1.4) соответствует размерности вектора состояний.

4.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 4.2.1

Определить управляемость динамической системы по состояниям, заданной векторными уравнениями

,

(4.2.1)

. (4.2.2)

Решение.

В соответствии с выражением (4.1.2) запишем матрицу управляемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2

.

Найдем произведение матриц

.

Следовательно, матрица управляемости имеет вид