Реферат: Математическая теория захватывания

Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в видефункции времени Удовлетворяют тому же уравнению, что и x, то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом.

; аналогичным образом можно показать, что (11).

Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по m.

будем искать в виде: (12).

Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m, получим:

Начальные условия для А_о , В_о , …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m, получим

Для В^' _о и В_о аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:

(14)

Решение (13) можно найти при помощи квадратур:

(15)

Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:

S₁ , S₂ - периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). a₁ , a₂ - характеристические показатели.

Если все , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:

=0 (16) Полагаем ;

Тогда определитель будет:

Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком R_e (a), или что все равно ÷l÷ . Если ÷l÷ < 1 имеет место устойчивость ÷l÷ = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ÷l÷> 1 имеет место неустойчивость.

При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р² ; q < р² ; В первом случае l-комплексные; ½l² ½=q; (20) если q<1; устойчивость q>1 - неустойчивость.

Случай второй - l - действительные: ; (21) устойчивость соответствует p и q нетрудно получить в виде рядов по степени m из формул (19) (12).

(22)

Если принять во внимание (15)

(22a)

(23)

Мы видим, что при достаточно малом m и w¹n; n 'Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость.