Реферат: Математические методы экономики
Доказательство. Множества M и N ограничены и замкнуты, так как , , а функция W непрерывна по P и Q . W линейна по P при фиксированных Q , следовательно, вогнута по P при фиксированных Q . Аналогично W выпукла по Q при фиксированных P . M и N выпуклы.
Действительно, рассмотрим такие и , что , , тогда , .
Складывая, получим .
Кроме того, .
Следовательно, при и
тоже смешанная стратегия.
Применяя фундаментальную теорему, получим то, что требуется доказать:
.
Опираясь на доказанную теорему, можно быть уверенным, что решение игры в смешанных стратегиях всегда существует (если только вообще их можно применять). В теории игр доказывается теорема, указывающая на эквивалентность решения матричной игры в смешанных стратегиях и двойственной задачи линейного программирования.
Пусть P o и Q o оптимальные смешанные стратегии, v - цена игры, тогда
.
Из теорема следует, что
|
(4) |
|
(5) |
.
Обозначим .
Поделим (4) на v , получим
.
Из этой задачи линейного программирования можно получить оптимальные стратегии первого игрока (оперирующей стороны).
Аналогично, если , получится задача линейного программирования для получения оптимальных стратегий второго игрока: .
Игры с природой. Оптимальная стратегия в игре с природой при известном распределении её состояний. Максиминный критерий Вальда выбора стратегии в игре с природой при неизвестном распределении её состояний. Критерий минимаксного риска Сэвиджа выбора стратегии в игре с природой при неизвестном распределении её состояний. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица выбора стратегии в игре с природой при неизвестном распределении её состояний.
В случае, когда между сторонами (участниками) отсутствует «антагонизм» (например, в процессе работы предприятий и торговых посредников), такие ситуации называют «играми с природой».
Здесь первая сторона принимает решение, а вторая сторона — «природа» не оказывает первой стороне сознательного, агрессивного противодействия, но ее реальное поведение неизвестно.
Пусть торговое предприятие имеет т стратегий: и имеется n возможных состояний природы: . Так как природа не является заинтересованной стороной, исход любого сочетания поведения сторон можно оценить выигрышем первой стороны для каждой пары стратегий и . Все показатели игры заданы платежной матрицей .
По платежной матрице можно принять ряд решений. Например, оценить возможные исходы: минимальный выигрыш
то есть наименьшая из величин в каждой i-й строке как пессимистическая оценка; максимальный выигрыш – то наилучшее, что дает выбор i-го варианта