Реферат: Математические методы описания моделей конструкций РЭА

ВВЕДЕНИЕ

Применение вычислительных машин на этапе конструирования РЭА по-новому ставит задачи разработки математических моделей и методов их анализа и оптимизации. Отличительной чертой в постановке этих задач является максимальная формализация математических описаний и использование для отыскивания оптимальных решений аппарата математического программирования.

В общем случае под математической моделью конструкции понимают систему математических соотношений, описывающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в реальных условиях. Процесс составления математических моделей называют математическим моделированием. В основу математического моделирования положен принцип идентичности формы уравнений и однозначности соотношений между переменными в уравнениях оригинала и модели, т. е. принцип аналогии объекта с моделью. При составлении математических моделей могут использоваться различные математические средства описания объекта — дифференциальные или интегральные уравнения, теория множеств, теория графов, теория вероятностей, математическая логика и др. Особое место в математическом моделировании занимает квазианалоговое моделирование, суть которого состоит в изучении не исследуемого объекта, а объекта иной физической природы, но описываемого математическими соотношениями, эквивалентными относительно получаемого результата.

В данной главе рассмотрены вопросы применения теории множеств и теории графов, а также методов конечно-разностных аппроксимаций для описания конструкций РЭА и моделирования протекающих в них процессов.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Определения. Математические методы, положенные в основу алгоритмических процессов конструирования РЭА, а также процессы организации входной и выходной информации о проектируемом объекте широко используют понятия и символы теории множеств.

Под множеством понимают совокупность объектов любой природы, называемых элементами данного множества, обладающих каким-либо общим для множества свойством. Как основное понятие теории понятие множества не подлежит логическому определению.

Элементы множества могут иметь самую различную природу. Например, можно говорить о множестве микросхем, входящих в определенную конструкцию РЭА, или о множестве чертежей, входящих в полный комплект конструкторской документации для производства какого-либо изделия, и т. д.

Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита: X, Y , Z , а элементы множеств — соответствующими строчными буквами того же алфавита: х, у, z или строчными буквами с индексами: х_1, x ₂ ,… y ₁ , у₂ ,… Равенство X = { x ₁ , x ₂ , ..., х_п } свидетельствует о том, что элементы х₁ , х₂ , ..., х_п являются элементами множества X.

Множество можно задавать не только перечислением его элементов, но и с помощью описательного способа, указывающего характерное свойство, которым обладают все элементы этого множества. Например, если во всем множестве X микросхем электронного блока сложной радиоаппаратуры есть некоторое множество А гибридных интегральных схем, то это можно записать следующим образом: А = {х Х:х — гибридная интегральная схема}, что читается так: множество А состоит из элементов х множества X, обладающих тем свойством, что х является гибридной интегральной схемой. Здесь введено новое обозначение , означающее, что объект х является элементом множества X. Если же некоторый объект у не принадлежит множеству Х то это условие записывают в виде у X.

В том случае, когда не вызывает сомнения, из какого множества берутся элементы х, принадлежность их к множеству X можно не указывать. Например, если известно, что множество гибридных интегральных схем входит во множество микросхем того же самого электронного блока, то можно записать А — {х : х — гибридная интегральная схема}.

Число элементов множества X = {} называют мощностью этого множества и обозначают прямыми скобками, например |Х| = п. Если число элементов множества X конечно, то такое множество называют конечным. В противном случае множество будет бесконечным. В теории множеств вводится понятие пустого множества, в котором не содержится ни одного элемента. Пустое множество обозначают специальным символом Ø. Так, например, если множество X пусто, то пишут X = Ø.

Последовательность из п элементов множества называют n-строкой. В отличие от обычного множества, где порядок элементов безразличен, в n-строке обязательно задается их определенная последовательность.

Множество X равно множеству Y , если оба эти множества состоят из одних и тех же элементов. Если множество X полностью содержится во множестве Y и при этом |Х|<|Y |, то говорят, что множество X является подмножеством множества Y : X Y . В случае когда XY иодновременно Y X, имеет место равенство X=Y , т. е. множества X и У совпадают. Символическая запись X Y означает, что множество Xне совпадает с множеством Y .

Действия над множествами. Над множествами, как и над другими математическими величинами, можно производить некоторые действия, например выполнять пересечение множеств, их объединение, вычитание, находить дополнение, декартово произведение и др.

Пересечением множеств X и Y называют новое множество Р, которое образуется из элементов, одновременно общих и множеству X, и множеству Y . На рис. 1, а множество Р показано заштрихованной областью.

Рисунок 1

Пересечение множеств X и Y записывают следующим образом: Р = X Y . Если рассматривают пересечение нескольких множеств Х₁ , Х₂ , ..., Х_n ,_…., Х_г ,то математическая запись имеет вид

где r— число пересекающихся множеств.

Операция пересечения множеств подчиняется переместительному закону, т. е. Р = X Y = Y X. Если множества X и Y не пересекаются, то Р = X Y = Ø.

С помощью операции пересечения множеств можно, например, выявить множество типоразмеров конструктивных элементов, общих печатным платам X и Y , или множество межплатных соединений для печатных плат X и Y , т. е. выявить любые множества, обладающие какими-либо общими свойствами.

Объединение множеств ХиУ приводит к образованию нового множества Q, которое получается из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств X или Y . На рис. 1,6 такое множество показано заштрихованной областью.

Математически объединение множеств X и Y записывают следующим образом: Q = XU У. Если рассматривают объединение нескольких множеств, то запись примет вид

где r— число объединяемых множеств. Операция объединения множеств, так же как и операция пересечения, подчиняется переместительному закону.

С помощью этой операции можно подсчитать, например, число типоразмеров конструктивных элементов для печатных плат X и Y или общее число внешних электрических соединений печатных плат X и Y .

Разность множеств Х и Y есть новое множество R , которое образуется из элементов множества X, за исключением элементов, принадлежащих одновременно множеству Y . На рис. 2, а множество R показано в виде заштрихованной области. Математически разность множеств X и Y записывают следующим образом: R = X / Y .

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--