Реферат: Математические методы в организации транспортного процесса
Для вычисления индексов выполним следующие действия:
-
Положим U 1 = V 1 = 0/
-
Значения всех заполненных клеток первой строки перенесём на
соответствующие места индексов столбцов V j и строк U i , т. е. V 2 = 8, V 3 = 10, V 4 = 10, V 7 = 12, U 2 = V 2 = 8, U 3 = V 3 = 10, U 4 = V 4 = 10, U 7 = V 7 = 12 (смотрите таблицу ниже)
-
Определим недостающие индексы V j. В нашем примере это индексы
V 5, V 6 и V 8. Для этого в каждом столбце, соответсвующем неизвестному индексу V j, просмотрим заполненные клетки и вычислим недостающие индексы по формуле V j = U i + L ij, если для них известны индексы U i.
Для столбца, соответствующего индексу V 5, этими элементами будут L 4, 5 = 16 и L 7, 5 = 25. Значения U 4 и U 7 известны: U 4 = 10, U 7 = 12.
Следовательно,
V 5 = min(U 4 + L 4, 5 = 10 + 16 = 26; U 7 + L 7, 5 = 12 + 25 = 37) = 26.
Для столбца, соответствующего индексу V 6, ими будут L 2, 6 = 7, L 3, 6 = 17, L 7, 6 = 18. Значения индексов U 2, U 3, U 7 известны: U 2 = 8, U 3 = 10, U 7 = 12. Следовательно,
V 6 = min(U 2 + L 2, 6 = 8 + 7 = 15; U 3 + L 3, 6 = 10 + 17 = 27;
U 7 + L 7, 6 = 12 + 18 = 30) = 15.
Для столбца, соответствующего индексу V 8, ими будут L 5, 8 = 17, L 6, 8 = 13, L 7, 8 = 19. Значения индексов U 5, U 6, U 7 известны: U 5 = 26, U 6 = 15, U 7 = 12. Следовательно,
V 8 = min(U 5 + L 5, 8 = 26 + 17 = 43; U 6 + L 6, 8 = 15 + 13 = 28;
U 7 + L 7, 8 = 12 + 19 = 31) = 28.
Запишем их в строку V i (смотрите таблицу ниже).
-
Все индексы найдены. Проверим полученное решение на
оптимальность, т. е. выполнение условия L ij >= V j – U i для каждой заполненной клетки матрицы.
Для всех заполненных клеток условие L ij >= V j – U i соблюдается. Полученное решение является оптимальным. Следовательно, минимальными расстояниями от вершины 1 до всех остальных будут:
V 2 = 8, V 3 = 10, V 4 = 10, V 5 = 26, V 6 = 15, V 7 = 12, V 8 = 28.
Определим кратчайший путь от вершины 1 до вершины 5. Для этого в столбце 5 найдём элемент, значение которого равно разности индексов столбца и строки L ij = V j – U i :
L 4, 5 = V 5 – U 4 = 26 – 10.
L 4, 5 – последнее звено пути и, соответственно, вершина 4 – предпоследняя.
И далее, в столбце 4 определим:
L 1, 4 = V 4 – U 1 = 10 – 0 = 10.
L 1, 4 – первое звено пути, так как вершина 1 является начальной фиксированной.