Реферат: Матричные операции в вейвлетном базисе

, m=0..M-1. (1.7)

Из свойства 4’ непосредственно следует, что, во-первых, функция j может быть представлена в виде линейной комбинации базисных функций пространства V_-1 . Так как функции {j_j,k (x)=2^-j/2 j(2^-j x-k)}_kÎZ образуют ортонормальный базис в V_j , то имеем

. (1.8)

Вообще говоря, сумма в выражении (1.8) не обязана быть конечной. Можно переписать (1.8) в виде

, (1.9)

где

, (1.10)

а 2p-периодическая функция m₀ определяется следующим образом:

. (1.11)

Во-вторых, ортогональность {j(x-k)}_kÎZ подразумевает, что

(1.12)

и значит

(1.13)

и . (1.14)

Используя (1.9), получаем

(1.15)

и, рассматривая сумму в (1.15) по четным и нечетным индексам, имеем

. (1.16)

Используя 2p-периодичность функции m₀ и (1.14), после замены x/2 на x, получаем необходимое условие

(1.17)

для коэффициентов h_k в (1.11). Заметив, что

(1.18)

и определив функцию y следующим образом:

, (1.19)

где

, k=0,…,L-1 , (1.20)

или преобразование Фурье для y

, (1.21)

где