Реферат: Матричные операции в вейвлетном базисе

, j,k,lÎZ, (3.2)

но Y уже не является единственной функцией, наоборот, она будет сформирована из трех элементарных вейвлетов. Чтобы создать ортонормальный базис W₀ , теперь придется использовать три семейства

, , .

Тогда двумерные вейвлеты запишутся в виде

, , .

На двумерной плоскости происходит анализ по горизонталям, вертикалям и диагоналям с одинаковым разрешением в соответствии с тремя выписанными выше вейвлетами.

4. Матричные операции

4.1 Матричное умножение

Существует два возможных способа воздействовать оператором на функцию в рамках вейвлет-теории. Они называются стандартным и нестандартным матричным умножением.

У достаточно гладких функций большинство их вейвлет-коэффициентов достаточно маленькие. Для широкого класса операторов большинство их матричных элементов также оказываются небольшими. Рассмотрим структуру тех элементов матричного представления некоторого оператора Т, которые достаточно велики. Матричные элементы удовлетворяют следующим соотношениям.

при , (4.1.1)

при , (4.1.2)

Топология распределения этих матричных элементов внутри матрицы может оказаться весьма запутанной.

Рассметрим действие оператора Т на функцию f, которое превращает ее в функцию g.

(4.1.3)

Как g, так и f могут быть представлены в виде вейвлет-рядов с вейвлет-коэффициентами (_f s_j,k ;_f d_j,k ) и (_g s_j,k ;_g d_j,k ). На наиболее детальном уровне разрешения j_n отличны от нуля только s-коэффициенты, и преобразование имеет вид

. (4.1.4)

На следующем уровне получаем

, (4.1.5)

, (4.1.6)

где

и замена нижних индексов S®D соответствует подстановке j®y под знаком интеграла.

Имеется связь между разными уровнями, потому что все s-коэффициенты на этом (j_n -1)-м уровне должны быть разложены с помощью быстрого вейвлет-преобразования на s- и d-коэффициенты более высоких уровней. Поэтому, даже имея почти диагональный вид на начальном этапе, стандартная матрица преобретает затем довольно сложный вид, как это показано на рис.1.

На конечном этапе мы имеем дело с вейвлет-представлением, описываемым формулой (2.1), в которой в векторах остается только один s-коэффициент, представляющий взвешенное среднее функции по всему интервалу ее задания, а SS-переход от f к g описывается верхним левым квадратиком на этом рисунке. В то же время на пути к этой формуле от скейлинг-представления нам приходилось иметь дело со средними величинами на промежуточных уровнях, разлагая их затем на каждом этапе на части, s и d, последующих уровней разрешения. Эти промежуточные s-коэффициенты были опущены, потому что мы заменяли их на s- и d-коэффициенты поледующих уровней. Именно поэтому окончательная матрица при стандартном подходе приобретает такой сложный вид.

Рис.1. Матричное представление при стандартном подходе к вейвлет-анализу.

Части матрицы с ненулевыми вейвлет-коэффициентами заштрихованы.

С целью упрощения вида матричного представления было предложено использовать переопределенный набор вейвлет-коэффициентов. Сохраним эти усредненные величины в виде соответствующих промежуточных s-коэффициентов как в начальных, так и в конечных векторах, представляющих функции f и g. Конечно, в этом случае придется иметь дело с приводимыми векторами, которые намного больше требуемых для конечного ответа. Однако, известен алгоритм приведения этих переопределенных выражений к окончательной непереопределенной форме. В то же время таким образом можно существенно упростить вид матрицы преобразования и численные расчеты.

Рис.2. Нестандартное матричное умножение при вейвлет-анализе.

Различные уровни оказались полностью развязанными, потому что в матрице теперь полностью отсутствуют блоки, которые ранее перепутывали их. Блок с SS-элементами извлечен, а на его место вставлена нулевая матрица. Полная матрица соответстваенно искусственным образом увеличилась. Вместе с ней увеличились и векторы, характеризующие функции f и g. Теперь здесь удерживаются все промежуточные s-коэффициенты вейвлет-разложения функции f. Каждый блок S_j+1 получается из S_j и D_j . В матрице преобразования равны нулю все SS-элементы за исключением их величин на низшем уровне S₀ S₀ . Все остальные SD-, DS-, DD-матрицы почти диагональны вследствие конечности области задания вейвлетов и скейлинг функций. Приведенная на рис. 2 форма функции g преобразуется в ее обычное вейвлет-представление из рис. 1 путем разделения каждого S_j в S_j-1 и D_j-1 стандартным методом. Затем эти S_j-1 и D_j-1 добавляются в соответствующие компоненты вектора. Эта процедура итерируется, начиная теперь уже с S_j-1 , вполоть до S₀ , когда мы приходим к обычному вейвлет-представлению функции g. Таким способом мы избавляемся от всех s-коэффициентов за исключением s₀ . Вычисления можно теперь проделать очень быстро.

4.2 Обращение матрицы

Утверждение 1. Последовательность матриц X_k такова, что