Реферат: Место аналогии в обучении математике в школе

(4*) На 8 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

Следует провести сравнение предложений. Одновременно необходимо подчеркнуть, что если данные высказывания (1) – (4) истинны, то необязательно окажутся истинными высказывания, полученные из данных по аналогии. Учащиеся должны знать, что для установления ложности какого – либо утверждения достаточно привести хотя бы один пример, опровергающий его. Так, высказывания (3*) и (4*) являются ложными: 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8; 100 и 164 не делятся на 8. Теперь важно показать, что 4 можно представить в виде произведения двух одинаковых множителей (4 = 2 * 2), а 8 – в виде произведения трех одинаковых множителей (8 = 2 * 2 * 2). Установив такое различие, учащиеся могут заметить, что в утверждении (4) рассматриваются такие числа, у которых количество последних цифр – нулей равно числу простых множителей в разложении числа 4. Это наблюдение поможет сформулировать истинное утверждение вместо (4*): на 8 делятся те числа, у которых три последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

При изучении темы «Сложение десятичных дробей» метод аналогии можно использовать для того, чтобы подвести учащихся к формулировке правила сложения десятичных дробей. Для этого нужно параллельно рассмотреть сложение натуральных чисел и сложение десятичных дробей (так, как это показано в табл. 1).

Таблица 1

Натуральные числа 949 + 835 Подписываем слагаемые одно под слагаемых находились друг под другом. 949 + 835 1784 Выполняем сложение поразрядно,

Десятичные дроби 95.37 + 101.4 другим так, чтобы одинаковые разряды 95.35 + 101.40 196.75 Так как число 101.4 не имеет сотых долей, то вместо сотых ставим 0. начиная с единиц низшего разряда.

Мы уже говорили о том, что умозаключения по аналогии могут приводить как к верным заключениям, так и к ошибочным; это часто является источником неверных действий учащихся. Упрочнению их способствует обычно и формальное усвоение материала. Особенно много таких ошибок учащиеся допускают в курсе алгебры. Поэтому полезно сравнивать верные соотношения с неверными, например:

5 * 3 = 3 * 5, но 5³ ≠ 3⁵ ; √5а² = √5 * √а² , но √5 + а² ≠ √5 + √а² ;

а * с ./ в * с = а / в, но а + с / в + с ≠ а / в (с ≠ 0).

Доказательство того, что равенство нарушается, проще всего провести, подставив вместо букв числа и проведя нужные вычисления.

Богатым материалом для обучения приему аналогии располагает геометрия. В начале изучения курса геометрии основное внимание следует уделить выделению соответствующих элементов из аналогичных задач и теорем. Например, рассмотрим две пары задач из учебного пособия А. В. Погорелова «Геометрия 6 –10» (М., 1985).

Для биссектрисы в задаче №20(1) соответственным элементам в задаче №20(2) является медиана . В задачах второй пары соответственными элементами оказались:

Две стороны, исходящие из одной вершины (№38), - два угла, на которые медиана разбивает угол треугольника (№40). Указанные задачи полезно решить непосредственно друг за другом, оформляя решение «параллельно», т. е. с левой стороны одно решение, с правой – другое. Разобрав решения, следует подчеркнуть, что каждый шаг одного из них можно перенести в другое, применив его к соответственным элементам.

Умение применять аналогию нужно поддерживать от класса к классу, пользуясь любыми возможностями. Так, при решении задачи об углах при основании равнобедренной трапеции следует вскрыть ее свойство с теоремой об углах при основании равнобедренного треугольника. Полезно записать «параллельно» оба доказательства так, как это показано в табл. 2.

Таблица 2