При наличии радиочастотного поля уравнение движения для r имеет вид

(4)

где V – объем образца. Чтобы решить (4) относительно r, сделаем подстановку

r* = e^{i H t} r e ^{– i H t} , (5)

которая преобразует (4) в уравнение

. (6)

Предположим, что радиочастотное поле было включено в момент, когда образец находился в тепловом равновесии и

r (–¥) = r = r* (–¥).

В момент t решение (6) в линейном приближении относительно Н₁ имеет вид

( 7)

Поэтому, возвращаясь к r [см. (5)], находим

(8)

Если предположить, что до включения радиочастотного доля намагни­ченность вдоль оси x была равна нулю, т. е.

М_х (–¥) = Sp {r₀ M _x } =0,

то

(9)

и, согласно определению (1 а),

(10)

Учтем, что температура обычно достаточно высока для того, чтобы для рав­новесной матрицы плотности (3) можно было использовать линейное разложение

где e – единичный оператор; тогда восприимчивость c²(w) становится равной

(11)

откуда, интегрируя по частям, получаем

(12)

Выражение (12) можно преобразовать к более компактной форме двумя способами.

В первом способе, вводя в рассмотрение оператор Гейзенберга

M _x (t) = e ^{i H t} M _x e ^{– i H t} , (12a)

можно переписать (12) в виде

(13)

где

G(t) = Sp{M _x (t) M _x }, (13a)

Функцию G(t) назовем функцией корреляции, или функцией релаксации намагниченности системы.

Во втором способе выражение (12) можно переписать в виде

Отсюда после применения хорошо известной формулы для d-функции

получаем

(14)

где суммирование S¢ производится только по тем энергетическим уровням, для которых | E_n — E_n' | = ħw. Обычно, вводя в рассмотрение вероят­ности переходов, выражение (14) используют как отправную точку для вывода (13) с помощью интегрального представления d-функции. Из равенства (14) в общем виде следует, что функция формы f (w), определяющая форму линии, пропорциональна сумме S¢ |< п | M _x | n ’ >|² . Точная зависимость этого выражения от co вытекает из условия, ограничи­вающего суммирование только по тем уровням, для которых | E_n — E_n' | = ħw. Формулы (13) и (14) являются весьма общими и справедливы в случае, когда спектр магнитного поглощения системы содержит одну или несколько острых резонансных линий, т. е. в случае ядерного маг­нитного резонанса. Математически это условие может быть сформулиро­вано следующим образом.

Гамильтониан ħH системы представляет собой сумму главной части ħH₀ и малой возмущающей части, которую удобно записать в виде ħeH₁ , где e — параметр малости возмущения. В отсутствие H₁ спектр поглоще­ния системы состоит из одной или нескольких бесконечно острых линий c частотами w_a , a восприимчивость c"(w) может быть записана в форме

c¢¢(w) = S A_a d(w-w_a ); (15)

при этом функция релаксации G ( t ), пропорциональная фурье-преобразованию c¢¢(w), имеет вид

(15a)

Если существует возмущение ħeH₁ , то функция релаксации принимает вид G(e, t) и может быть в принципе вычислена вплоть до любого порядка по e методом возмущений; восприимчивость c¢¢(w, e) получается как фурье-преобразование G(e, t).

Прежде чем производить детальный расчет, кратко рассмотрим соот­ношение между c¢¢(w) и поведением намагниченности после окончания действия радиочастотного импульса. Хорошо известно и достаточно оче­видно, что для линейных систем стационарная реакция на возбуждение coswt представляется фурье-преобразованием нестационарной реакции на бесконечно острый импульс d(t). Однако на практике для аппроксима­ции такого импульса к системе спинов необходимо приложить кратковре­менно действующее магнитное поле, значительно большее постоянного поля Н_о .

Для системы взаимодействующих ядерных спинов в магнитном поле, характеризующейся острой резонансной линией на частоте w₀ , действие бесконечно острого импульса постоянного поля можно аппроксимировать радиочастотным импульсом частоты w = w₀ со значительно большей длительностью t и меньшей амплитудой H ₁ . Поскольку в системе координат, вращающейся с частотой w, отлично от нуля только постоянное поле H ₁ , то для аппроксимации бесконечно острого импульса конечной амплитуды достаточно того, чтобы H ₁ было значительно больше локального поля; последнее представляет собой гораздо менее жесткое условие.

Б. УШИРЕНИЕ, ВЫЗВАННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

МЕЖДУ ОДИНАКОВЫМИ СПИНАМИ

§ 3. ДИПОЛЬ-ДИПОЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ