Реферат: Метод моментов в определении ширины линии магнитного резонанса

Основной гамильтониан

ħH ₀ = S_j Z^j = – għH ₀ S_j I^j _z (16a)

описывает энергетические уровни, определяемые выражением ħE⁰ _M = – għН₀ M, где M — собственное значение оператора

I_z = S_j I^j _z

Гамильтониан возмущения ħ H₁ , ответственный за уширение, имеет вид

(16б)

Прежде всего, рассмотрим несколько подробнее взаимодействие между двумя спинами, которые будем обозначать для краткости i и i’. Пусть q и j — полярные координаты вектора r , описывающего их взаимное положение, причем ось z направлена параллельно внешнему полю. Тогда W_ii можно записать в виде

W_{ii '} = {i ×i' — 3[i_z cos q + sin q (i_x cos j + i_y sin j)]x[i'_z cos q + sin q (i'_x cos y + +i'_y sinj)]}g² ħ² /r³ = {i ×i' — 3[i_z cos q + sin q (i₊ e^{- i j} + i_- e^{i j} )/2]x[i'_z cos q + sin q (i₊ e^{- i j} + + i_- e^{i j} )/2)]}g² ħ² /r³ = (A+B+C+D+E+F)g² ħ² /r³ , (17)

где

A = i'_z i_z (l – 3cos² q),

B = – (l – 3cos² q) (i₊ i'_– + i _– i'₊ ) = (l – 3cos² q)(i_z i'_z – i ×i' )/2,

C = – 3sinq cosq e^{- i j} (i_z i'₊ + i ₊ i'_z )/2, (18)

D = С* = – 3sinq cosq e ^{i j} (i_z i'_– + i _– i'_z )/2,

E = – 3sin² q e^{-2 i j} i₊ i'₊ /4,

F = E* = – 3sin² q e^{-2 i j} i _– i'_– /4,.

Запись W в такой форме вызвана следующими причинами. Согласно формуле (14),

c¢¢(w) ~ S¢ |< п | M _x | n ’ >|² .

Это приводит к необходимости определить изменение в положении энер­гетических уровней, отвечающих ħH₀ , обусловленное наличием ħH₁ . Операторы А, В, С, D, E, F дают качественно различным вклады в это изменение. Упомянутые операторы, действуя на состояние невозмущенного гамильтониана, характеризующееся значениями i_z =т , i '_z =т', при­водят к следующему изменению этого состояния:

(19)

Рассмотрим теперь энергетический уровень ħE⁰ _M = – għH₀ M, соот­ветствующий гамильтониану (16a). Этот уровень сильно вырожден, так как существует много способов, которыми можно скомбинировать отдельные значения I^j _z = m_j , чтобы получить величину M = S m_j . Таким образом, уровень ħE⁰ _M соответствует вырожденному множеству состояний |М>, причем вырождение снимается (по крайней мере частично) возмущением, описываемым гамильтонианом ħH₁ , который расщепляет уровень ħE⁰ _M на много подуровней. Согласно первому приближению тео­рии возмущений, вклад первого порядка в расщепление уровня ħE⁰ _M дают лишь те члены гамильтониана возмущения, которые обладают отлич­ными от нуля матричными элементами внутри множества |М>, т. е. те, которые, действуя на состояние |М>, не вызывают изменения величины М. Обращаясь к формуле (19), мы видим, что только те части W, которые отвечают операторам А и В, удовлетворяют этому условию и должны быть сохранены для вычисления энергетических уровней ħH методом возму­щений.

Член А имеет тот же вид, что и выражение для взаимодействия двух классических диполей и описывает упомянутое в разделе А взаимодействие одного диполя со статическим локальным полем, создаваемым другим дипо­лем. Член В описывает взаимодействие, при котором возможно одновре­менное переворачивание двух соседних спинов в противоположных направ­лениях. Эта часть гамильтониана, названная «переворачивающей» частью, соответствует описанному в разделе А резонансному действию враща­ющегося локального поля. Влияние такого члена, как С, заключается в примешивании к состоянию |М> с невозмущенной энергией ħE⁰ _M = – għH₀ M малой доли состояния |М— 1>. Таким образом, точное соб­ственное состояние ħH₀ следует представить в виде

| М > + a | М – 1 > + …,

где a — малая величина. Взаимодействие системы спинов с радиочастот­ным полем, приложенным вдоль оси ох, пропорционально I_x = S I^j _x и может индуцировать только переходы с DМ = ± 1. Слабые переходы знежду состоянием, скажем, |M – 2> + малая примесь, энергия которого приблизительно равна – għH₀ (M —2), и состоянием | М > + a | М – 1 > + … становятся возможными с вероятностью порядка a² . Разность энергии между этими состояниями приблизительно равна 2ħw₀ . Следовательно, таким переходам на частоте 2w₀ соответствует очень слабая линия, кото­рую обычно трудно наблюдать экспериментально. Легко видеть, что линии сравнимых интенсивностей появляются на частотах 0 и 3w₀ .

Доказательство справедливости сохранения в гамильтониане ħH₁ только членов А и В, которые коммутируют с H₀ обычно называются адиабатической или секулярной частью ħH₁ и которые впредь будут обо­значаться как ħH’₀ , может быть также дано следующим способом. Так как c¢¢(w) пропорционально фурье-преобразованию G(t)=Sp{M _x (t) M _x }, то оно может быть вычислено, если известно M _x (t) = е ^{i H t} M _x е^{– i H t} . В этом случае M _x (t) удовлетворяет уравнению

(1/i) d M /dt = [H ₀ +H ₁ , M _x (t) ]. (20)

§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ

Для резонансной кривой, описываемой нормированной функцией формы f(w) с максимумом на частоте w₀ , n-й момент M_n относительно w₀ опреде­ляется выражением

М_n = ∫ (w – w₀ )ⁿ f(w)dw.

Если f(w) симметрична относительно w₀ , то все нечетные моменты равны нулю. Знание моментов дает некоторую информацию о форме резонансной кривой и, в частности, о скорости, с которой она спадает до нуля на крыльях вдали от w₀ .

Достоинство метода моментов состоит в том, что моменты могут быть вычислены на основании общих принципов без определения собственных состояний общего гамильтониана ħH . Прежде чем останавливаться на вычислении моментов, рассмотрим два примера резонансных кривых разном формы. Гауссова кривая описывается нормированной функцией

(24)

для которой легко найти

М₂ = D² , M₄ =3D⁴ ,

М_2n = 1, 3, 5, ..., (2n – 1) D²ⁿ ,

причем нечетные моменты равны нулю. Полуширина на половине высоты d определяемая соотношением f(w₀ + d) = f(w₀ )/2, или ехр( – d² /2D² ) = 1/2 оказывается равной

Отсюда видно, что значение второго момента M₂ = D² для гауссовой кри­вой обеспечивает удовлетворительное приближение для ширины линии d.

Другой формой линии, которая часто наблюдается в магнитном резо­нансе, является лоренцева форма, опи­сываемая нормированной функцией

(25)

где d — полуширина на половине высоты.

В этом случае ни второй, ни более высокие моменты не могут быть определены, так как соответствующие интегралы расходятся. Однако иногда теория дает конечные значения для второго и четвертого моментов линий, которые в экспериментально наблюдаемой области имеют лоренцеву форму. В соответствии с конечными значениями M₂ и М₄ далеко на крыльях линии, где невозможно произвести достаточно точные измерения погло­щения вследствие его малой величины, линия должна изменяться более быстро, чем это следует из лоренцевой формы.

Грубая, но удобная пробная модель состоит в описании кривой по формуле (25) внутри интервала |w – w₀ |£a, где a>>d и в пред­положении о том, что она равна нулю вне этого интервала. Тогда, прене­брегая членами порядка d/a, найдем

M₂ = D² = 2ad /p, M₄ = 2a³ d /(3p), (IV.25a)