Реферат: Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений (По дисциплине: Математические методы моделирования процессов управления в социальной сфере)
где .Q(1) - количество продукта, потерянное при уменьшении занятости на одну единицу, Р - цена продукта (так что слева в равенстве (2) записана величина потерянной стоимости). Если занятость изменилась на величину R, то из равенства (2), очевидно, имеем
P=s R, (3)
где Q = Q R - стоимость, потерянная или полученная при изменении числа работников на R. Из равенства (3) следует
(4)
Считая R и Q малыми в сравнении с R и Q, перепишем равенство (4) в дифференциальной форме:
(5)
Из (5), принимая во внимание (1), получим
F'(R)=s/P. (6)
Поскольку F(R) задана (а с нею и производная F'(R)), то при известных макропоказателях s и Р из (6) можно найти уровень занятости R, а из (1) - и величину продукта Q. Этот уровень отвечает числу работников, согласных трудиться за данную зарплату при данных ценах и других характеристиках системы, а не вообще возможному числу наемных рабочих. Предполагается, что для обеспечения равновесного уровня занятости всегда найдется достаточное количество желающих работать на существующих условиях, т. е.:
V. Предложение труда не сдерживает производство, число занятых определяется спросом на труд со стороны предпринимателей.
Два уравнения (1) и (6) содержат четыре величины. Для построения замкнутой модели необходимо дальнейшее рассмотрение рынка продуктов и рынка финансов.
Произведенный на рынке продукт частично тратится на потребление, а частично сберегается:
Q=S+, (7)
где S - фондообразующий продукт, т. е. сберегаемая часть произведенного продукта, возвращаемая в экономическую систему, а - потребляемая часть продукта, которая в экономику не возвращается.
Соотношение между величинами S и определяется из следующих соображений. Относительно величины считается, что:
VI. Потребляемая часть выпуска зависит от величины самого выпуска, т. е. =(Q). При этом функция (Q) обладает свойством «насыщения» так же, как и функция F(R): чем больше выпуск, тем меньшая доля дополнительного выпуска Q тратится на потребление (рис. 3) и тем большая доля сберегается. Величина d/dQ=c(Q) называется склонностью к потреблению и лежит в пределах 0 < с < 1. иначе при малых выпусках потреблялось бы больше продукта, чем производилось бы (величина d = 1 - с - склонность к накоплению).
Рис. 4. Зависимость спроса на инвестиции (А) от нормы банковского процента (r).
Фондообразующий продукт
вкладывается инвесторами в экономику с целью получить в будущем от этих инвестиций доход. В модели считается, что инвестиции эквивалентны отложенному (отнесенному на будущее) потреблению и потому определяются еще одним финансовым макропоказателем системы - нормой банковского процента r. Действительно, cделав инвестиции в размере (А) и получив через год доход D = Аr, инвестор ничего не теряет (в данном примере и не выигрывает) по сравнению с вложением этих средств в банк под процент r. В обоих случаях сегодняшнее потребление откладывается ради возможности большего потребления в следующем году. Спрос на инвестиции задается функцией А(r) такой, что А'(r)<0 при Q<r<r и А(r)=0 при r>r : при большой норме процента инвестиции отсутствуют (рис. 4).
В условиях равновесия предложение фондообразующего продукта S(Q) сбалансировано со спросом на инвестиции А(r), следовательно, S(Q) = A(r). Из этого равенства и равенства (8) следует
Q - (Q)=A(r). (9)
Для окончательного замыкания математической модели рыночного равновесия с совершенной конкуренцией рассматривается рынок финансов. Чтобы произвести покупки товара Q (как фондообразующего, вкладываемого в экономику, так и идущего на потребление), нужны деньги. Относительно спроса на деньги делается следующее предположение:
VII. Спрос на деньги представляет собой сумму операционного спроса и спроса спекулятивного.
Р
ис 5. Зависимость спекулятивного спроса (I) от
нормы процента (r)