Реферат: Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений (По дисциплине: Математические методы моделирования процессов управления в социальной сфере)

Операционный спрос определяется количеством денег, которое нужно иметь на руках, чтобы производить покупки товара Q (как фондообразующего, так и идущего на потребление). Если цена продукта равна Р, а время обращения равно , то операционный спрос равен величине PQ

Спекулятивный спрос связан с величиной нормы процента r. Если норма процента высока, то большую часть денег их владельцы предпочитают хранить в банке, рассчитывая на хороший доход и жертвуя более высокой степенью ликвидности банкнот (способностью обмениваться на продукты) в сравнении с банковскими обязательствами. При низкой процентной ставке спекулятивный спрос увеличивается: владельцы желают иметь на руках все больше банкнот, аккумулируя в них свои накопления. Поэтому спекулятивный спрос задается функцией I(r) (рис. 5), такой, что I'(r)<O при г>r и I(r) резко возрастает при r – r (I(r) - при r – r ; владельцы денег не приобретают обязательств банка). Естественно считать, что r < r, так как в противном случае либо инвестиции равны нулю, и говорить об экономическом- равновесии не приходится, либо функция I(r) не определена, и рассмотрение не имеет смысла.

Так как финансовый рынок находится в равновесии, то баланс («закон сохранения») денег дастся уравнением '

Z=tPQ+I(r),…………………………………(10)

Где Z – количество денег, являющееся заданным управляющим параметром системы (считается, что деньги выпускает государство).

Из соединения в одно уравнений (1), (6), (9) и (10), возникает математическая модель рыночного равновесия, полученная в предположениях I-VII:

Q = F(R),

F’(R) = s/P,

Q- (Q) = A(r), (11)

Z = PQ + I(r).

Рис.6. Зависимость фондообразующего продукта (S) от числа занятых рабочих (R)

В модели-(11) задаются параметры системы s (ставка заработной платы), Z предложение денег) и технический параметр τ

Функции F, F', ω, А, I - известные функции

своих аргументов с описанными выше

.

свойствами. По этим входным данным из модели определяются четыре неизвестные величины: Q (величина выпускаемого продукта), R (уровень занятости ), Р (цена продукта) и r (норма банковского процента).

Исключая из (11) величины Р, r, Q, систему уравнений (11) легко свести к одному уравнению

(12)

где А ¹ - функция, обратная функции А. Из свойств строго возрастающей функции А= F(R)-ω(F(R)) (рис. 6) легко установить качественный вид функции А ¹ (в зависимости от R): функция А ¹ строго убывает с ростом R. В свою очередь, А служит аргументом монотонной функции I:

(13)

Свойства функции (13) таковы, что как функция R она имеет вид кривой J{R), изображенной на рис. 7 (для значений R > R функция I не определена), где R - корень уравнения

(14)

Рассмотрим теперь левую часть уравнения (12). Функция

Z-sτF(R)/F'(R) (15)

равна Z при R = 0, т.к. F'(R) > 0. Первая производная функции (15)

(16)

в силу условия F"(R)< 0 (см. рис. 2). Из (17) тогда следует, что функция (15) строго убывает на промежутке [О, R ]. Введя обозначения

(17)

(18)