Реферат: Модель Кронинга-Пенни. Структура энергетических зон

Обозначения: [0 2π/а 0], [0 1 0].

Электроны обладают волновыми свойствами, и их движение через кристалл можно представлять себе как процесс распространения электронных волн. Если для этих волн условие Вульфа-Брэггов не выполняется, то движение электрона описывается бегущей волной e^ikx и связь энергии E с волновым числом является однозначной. При выполнении условия Вульфа-Брэггов, т.е. в точках k_n =nπ/а наступает отражение электронных волн от атомных плоскостей, интерференция отражённых волн с бегущими и образование стоящих волн. Поэтому в точках k_n =nπ/a электроны следует представлять уже не бегущей волной, а стоячей, состоящей из двух одинаковых бегущих волн:

e^ikx и e^{- ikx} ,

распространяющихся в противоположные стороны. Эти волны дают два решения уравнения Шрёдингера. Для точки k=π/a эти решения имеют следующий вид:

ψ₁ =A₁ e^i(π/a)x - B₁ e^-i(π/a)x ,

ψ₂ =A₂ e^i(π/a)x +B₂ e^-i(π/a)x .

Решениям ψ₁ и ψ₂ соответствуют разные энергии. Решению ψ₂ отвечает энергия E_min , которая соответствует верхней границе первой зоны (точка А); решению ψ₁ — энергия E_max , отвечающая нижней границе второй зоны (точка B). При k несколько меньшем π/а энергия электрона меньше E_min ; при k несколько больше π/а собственные значения энергии электрона лежат выше E_max . В промежутке между E_min и E_max не лежит ни одно собственное значение энергии электрона, т.е. область между E_min и E_max представляет собой запрещённую зону энергии.

О структуре энергетических зон.

В трёхмерном кристалле периодичность решётки в разных направлениях различная: a ≠ b ≠ c. Поэтому в трёхмерном векторном пространстве (k_x , k_y , k_z ) k_x = ±nπ/a, k_y = ±nπ/b, k_z = ±nπ/c, при которых наступает брэгговское отражение электронных волн и возникают разрывы в энергетическом спектре электрона, для разных направлений в решётке должны быть различными.

I. Предположим, что область энергии, запрещённая для одних направлений, является разрешённой для других направлений. В этом случае запрещённые полосы, соответствующие этим направлениям, не перекрываются.

На рисунке: кривые зависимости энергии электрона от волнового числа для направлений k_x , k_y , k_z . Запрещённые полосы, соответствующие этим направлениям, не перекрываются.

Направления не перекрываются

Кривые зависимости энергии электрона от волнового числа для направления k_x k_y k_z . Запрещенные полосы соответствующие этим направлениям не перекрываются.

Запрещенные полосы перекрываются.

Поэтому, хотя определенные области энергий запрещены для электронов, движущихся в одном направлении, они являются разрешимыми для электронов движущихся в другом направлении. Энергетический спектр в целом оказывается квазинеприрывным.

2. Случай. Предположим теперь, что полосы запрещенных энергий для направлений a, b, c, перекрываются. В этом случае существуют области энергий, запрещенные для электронов движущихся в любых направлениях. Энергетический спектр таких электронов будет состоять тогда из зон разрешенных энергий, разделенных полосами запрещенных энергий.

Внутри зоны волновое число h меняется от -П/а до П/а . Положение периодических краевых условий ограничивает k следующими значениями

k=n2П/L, n=± 0, ± 1, ± 2, ... ± L/2

где L – длина атомной цепочки, a – параметр решетки.

Из формулы видно, что число независимых значений k равно L/a=N, где N – число атомов в цепочке.

Таким образом, в интервале -П/а до П/а k может принять только N различных значений, которым соответствует N различных энергетических уровней, для трехмерного кристалла N представляет собой число атомов в кристалле.

Приведенные зоны.

Рассмотренные представления о периодическом характере зависимости энергии от волнового вектора, позволяют привести зависимость к первой зоне Бриллюэна.

Энергия электронов в каждой разрешенной энергетической зоне является периодической функцией k при переходе из одной зоны Бриллюэна в другую. Период этой зависимости для линейной решетки определяется величиной 2π/а. Это означает, что последующие зоны Бриллюэна дают состояния, эквивалентные состояниям первой зоны Бриллюэна. Иначе говоря, можно сдвинуть все кривые E(k) в разных зонах Брилллюэна на целое число периодов 2π/а, так чтобы они попали в первую зону Брилллюэна. Совокупность кривых E(k) для разных энергетических зон, нанесенных в первой зоне Брилллюэна, позволяет представить всю зонную схему в пределах одной - приведенной зоны Брилллюэна.

А) -завивисимость энергии электрона от волнового вектора для случая слабой связи. Штриховой Линией показана зависимость Е(h) для свободного электрона;