Реферат: Модели системы кровообращения

m - размерность пространства переходных параметров.

В момент t_pq перехода от описания р-й системой к описанию q-й системой (р-q-переход) значения новых переменных x^q ₁ ,...,x^q _n выражаются через значения старых переменных x^p ₁ ,...,x^p _n согласно уравнений скользящих движений:

(3)

где i=1,2,. .,n s₁ ,. .,s_s - параметры скольжения.

Заметим, что рассматриваемая динамическая система неавтономна, поскольку в условия перехода (2) явно входит переменная t. Содержательное описание моделей будет дано в гл.1. Там же - приведены результаты цифрового моделирования, которые показали хорошее согласие с физиологическими данными.

Существование периодического движения динамической системы доказывается либо экспериментально численным моделированием на ЭВМ, либо аналитически, в зависимости от вида функций X^j _i , S_pq , Y_i ^pq . В случае, если эти функции нелинейны, аналитическое решение вопроса о существовании периодических движений затруднительно.

Анализ устойчивости стационарных движений динамической системы позволяет установить факт реальности модели, поскольку реальная система кровообращения имеет стационарные устойчивые движения и из экспериментов известны характер и диапазоны их устойчивости. Кроме того, исследование устойчивости необходимо при анализе систем управления в аппаратах искусственного или вспомогательного кровообращения, при исследовании режимов внутриаортальной контрпульсации и т.д. Устойчивость изолированного стационарного движения динамической системы понимается в смысле Ляпунова, ее исследование аналитическими методами в общем случае уравнений (1) - (3) затруднительно.

В процессе идентификации системы координат измерению доступен вектор

y^* ( t) = j ( A^* , х^* ( t)), (4)

зависящий от неизвестных параметров. Задача идентификации параметров системы кровообращения по измерениям (4), снимаемым с реального организма, ставится как задача определения параметров А модели (1) - (3) (а иногда дополнительно еще и параметров К и S), дающих наименьшее расстояние между y^* (t) и соответствующими переменными

y ( t) = j ( A, x ( t)). (5)

При этом считается, что структура модели и объекта совпадают. Идентификация параметров проводилась различными методами: методом адаптивной идентификации, предложенным А.А. Красовским, методом прямого поиска, градиентными методами, методом наименьших квадратов по приспособленному базису и другими.

Требование идентичности, как правило, является глобальным и не исчерпывается идентичностью в одном заданном режиме (решение системы с фиксированными начальными условиями и параметрами). Проведенными машинными экспериментами было показано, что в системе (1) - (3) существуют режимы с неоднозначной идентификацией никоторых параметров. Поэтому перед проведением идентификации необходимо решить задачу идентифицируемости динамической системы в заданном режиме с заданной системой измерений (4), (5) либо задачу выбора системы измерений, на которых идентификация была бы идентификацией в целом.

Пусть Y - множество графиков y (t) вектор-функций (5), G - множество начальных условий для (1) в координатном n-мерном пространстве R ⁿ , A - множество параметров А. Для анализа наблюдаемости в отдельных режимах, глобальной (полной) наблюдаемости и идентифицируемости системы (1) - (5) разработаны методы и алгоритмы проверки биективности отображений Y ->G , Y ->A с помощью расчета ранга специально организованных матриц. [7]

В некоторых моделях обоих классов основное внимание обращается на свойство артериального русла преобразовывать входное прерывистое течение в более равномерное течение. Простейшей из таких моделей может служить модель "упругой камеры", в которой предполагается, что все флуктуации давления в артериях происходят синхронно. Эта модель, первоначально предложенная для определения ударного объема, модифицировалась много раз и недавно нашла новое применение при моделировании замкнутой сосудистой системы. Однако для исследования детального поведения самой артериальной системы упругая камера не пригодна, так как она не описывает распространение волн. Существенный недостаток модели упругой камеры привел к построению других моделей, в которых основное внимание уделялось трансмиссионным явлениям. Эти модели, также принадлежащие обоим классам, вначале были очень просты и состояли из однородных трубок с отражением на наружных концах. В своей основе модель упругой камеры и модель трубки считались взаимно исключающими.

Модель артериального древа человека с распределенными свойствами была разработана и сконструирована Ноордерграафом. В этой модели была использована пассивная электрическая аналогия, основанная на сходстве между уравнениями, описывающими распространения тока вдоль трансмиссионной линии, с одной стороны, и упрощенными уравнениями движения крови для течения в коротком сегменте артерии - с другой.

Впоследствии для исследования артериальной системы были построены и изучены несколько моделей с распределенными свойствами, имевших различную степень детализации. Де Патер и Ван-ден-Берг развили пассивную электрическую модель замкнутой системы кровообращения человека, применяя давление на конечные сегменты; по степени приближения к реальности их модель близка к модели, введенной Ноордеграафом.

Эти авторы ввели в свою модель теорию пульсирующих течений, используя в расчетах элементов, представляющих вязкость и инерцию крови, поправочные члены, основанные на приближении низких частот. Для более высоких частот (больше чем 3 Гц) низкочастотное приближение дает заметную разницу по сравнению с высокочастотным, особенно для артерий, отличных от аорты. В модели Де Патера абсолютное значение входного импеданса как функция частоты также колеблется с большей частотой, чем соответствующая частота у человека.

В этих работах была разработана модель с распределенными параметрами, в которой были использованы операционные усилители вместо пассивной электрической цепи. Этот Подход имеет то преимущество, что обладает большей гибкостью, однако возможность описания свойств, меняющихся вдоль артериального древа, ограничена количеством необходимых операционных единиц.

Расширенную математическую модель развили Тейлор, а также Эттингер. Чтобы воспроизвести артериальную систему, Тейлор описал случайно ветвящуюся модель (т.е. длина сосудов принималась случайно распределенной). Согласно этой модели, артериальное древо состоит из системы коротких однородных трубок, причем каждая трубка рассматривается как трансмиссионная линия. Было показано, что параметры этой системы трубок могут быть выбраны таким образом, что будет иметь место хорошее согласование с результатами реальных изменений по распространению волн и входному импедансу. На этой модели было выяснено, что по мере продвижения к периферии значение модуля упругости Юнга для стенок должно увеличиться (это условно названо "упругим сужением"). Хотя реальное артериальное древо организма не есть случайно ветвящаяся система, данная модель подчеркивает изобилие ветвлений.

Путем применения специальной техники сосудистое древо организма собаки было запрограммировано на ЭВМ Эттингером, Анне и их сотрудниками. Они использовали теорию пульсирующих течений, однако в противоположность модели Тейлора не ограничивались предположением, что толщина стенки мала по сравнению с радиусом. Модель Эттингера учитывает как геометрическое сужение сосудов, так и "упругое сужение". Эти авторы изучали, в частности, влияние степени агрегирования модели, а также влияние примененной ими теории пульсирующих течений на входной импеданс.

В исходной модели были сделаны противоречивые предположения при расчеты вязких и инерционных элементов в продольном импедансе. В новой модели такие противоречия утрачены путем пересчета продольного импеданса с использованием теории пульсирующих течений для коротких сегментов артерий, разработанной Витцигом и Уомерсли и развитой Ягером, которые учли динамику стенки и устранили предположение о тонкой стенке. Также в этой модели было учтено, что для теоретического изучения зависимости от расхода можно использовать пассивную электрическую аналогию.

Другой необходимой модификацией данной модели было использование симметричной (П-образной) сети вместо несимметричной (┐-образной) формы. Это привело к тому, что уменьшились ошибки, вводимые разбиением на конечные сегменты. Было так же установлено влияние "упругого сужения", то есть увеличения модуля упругости Юнга по направлению к периферии. В исходной модели не было возможности изменять локальные параметры; в заново сконструированной модели сделаны приспособления, допускающие ступенчатые изменения локального радиуса и упругости стенки. Демпфирование в стенке и нелинейные свойства стенки в модели не учитывались, хотя демпфирование можно учесть количественно в пассивной сети. [4]

Конструкция нового электрического аналога, основанного на теории пульсирующих течений.

На основе уравнений Навье-Стокса, уравнения неразрывности для движения жидкости, уравнения движения стенки сосуда и закона Гука для упрощенного материала можно вывести математические выражения для продольного и трансверсального импедансов сегмента артерии.

Распределение расхода по каждой из основных артерий пропорционально площади их поперечного сечения. При расчете нормальных региональных периферических сопротивлений предполагается, что среднее давление непосредственно перед периферическим сопротивлением составляет 100 мм рт. ст., и периферическое сопротивление получалось делением среднего давления на средний расход.

Левый желудочек рассматривается как граничное условие. Он представляется как волнопродуктор, так что в нем могут быть генерированы любые желаемые характеристики давления или любые характеристики начального течения. Когда желудочек рассматривается как источник давления, давление подается в модель через электрическую сеть, имитирующую аортальный клапан.

Так как аналог линеен, волнопродуктор может быть заменен синусоидальным осциллятором переменной частоты, позволяющим каждую гармонику рассматривать независимо и поэтому избежать необходимости анализа с помощью рядов Фурье.

Физиологические данные

Радиусы, которые были затабулированы Ноордеграафом при конструировании исходной модели, относились к субъекту роста 175 см и веса 75 кг. Большинство этих радиусов согласуются с данными, опубликованными позднее. Исключение представляют радиусы нижней брюшной аорты и бедренной артерии. Радиусы, в особенности радиусы аорты и крупных сосудов, имеют большое значение для получения модели, поведение которой близко к реальному.